Le titre de l’article d’Images des Mathématiques est une référence à cet autre article, qui m’avait lui aussi frappée en 2015.

Philippe Colliard part d’un constat :

«  Théorème  » apparaît 6 fois, uniquement dans les expressions « théorème de Thalès » ou « théorème de Pythagore »… et jamais pour demander de les démontrer.

Le bas-peuple des théorèmes, ceux qui n’ont pas de nom, est regroupé sous l’appellation de «  propriétés »… appellation que ces théorèmes inférieurs partagent sans protester avec des «  définitions  » – un mot qui, comme «  démonstration  » apparaît 2 fois, la première dans le préambule du thème et la seconde dans ses « repères de progressivité ».

«  Démontrer  », se retrouve 2 fois dans un titre (« Utiliser les notions de géométrie plane pour démontrer » ) et tout de même 1 fois dans le corps même d’un paragraphe de la colonne « Exemples de situations, d’activités et de ressources pour l’élève » :
démontrer, par exemple, que des droites sont parallèles ou perpendiculaires, qu’un point est le milieu d’un segment, qu’une droite est la médiatrice d’un segment, qu’un quadrilatère est un parallélogramme, un rectangle, un losange ou un carré.

D’où question, certes un brin provocatrice:

Alors, à la poubelle, la géométrie ?

Monsieur Colliard commence par être assez désagréable : il semble mépriser pavages et frises. Groumf. On peut pourtant en faire, de belles mathématiques, avec des frises et des pavages : de la géométrie avec des réflexions très profondes sur les constructions, qui ramènent aux concepts fondamentaux, avec des transformations, avec des périmètres, des aires, de la trigonométrie, et avec… des démonstrations. Pas de l’occupationnel, je le jure !

Mais bon, Steven va encore dire que je ronchonne ( 😉 ), alors je poursuis.

Philippe Colliard propose ensuite une réflexion sur la symétrie centrale.

Le programme officiel ne lui consacre que deux « brèves », plus que laconiques :

Utiliser les notions de géométrie plane pour démontrer : comprendre l’effet […] d’une symétrie (axiale et centrale) […] sur une figure.

Repères de progressivité : La symétrie centrale est travaillée dès le début du cycle 4, en liaison avec le parallélogramme.

Alors, pourquoi s’appesantir sur la symétrie centrale ?

Si je me permets une ellipse de toute une partie de ce très bel article, c’est qu’il est impossible à résumer sans donner de la purée (allez le lire : vous allez vous régaler). Cette ellipse justifie ceci :

c’est là une force de la symétrie centrale : des théorèmes à la fois très groupés et très proches des métaxiomes.

Et là, monsieur Colliard propose une idée de séquence sur la symétrie centrale en cinquième. Ambitieuse, pleine de sens, éducative, bref, top.

Et en plus, il me permet de me réconcilier :

Et pourquoi pas ensuite, mais ensuite seulement, des construction de frises, de pavages, de rosaces !

Je ne résiste pas à citer la conclusion, qui fera sourire mes élèves :

Au collège, la géométrie euclidienne est superbe pour raisonner, parce qu’elle est visuelle… en même temps, elle nous contraint à réfléchir à ses bases, à ce qui nous paraît évident et qui n’est qu’une modélisation simpliste de notre monde matériel : l’univers physique n’est pas continu, et ni le point mathématique, ni les lignes n’y ont d’existence… a fortiori, ni les droites !

Mais cette géométrie permet à des adolescents de découvrir l’abstraction tout en s’appuyant sur des illusions visuelles qui leur sont encore nécessaires pour apprendre à mieux raisonner. Et, pour certains d’entre eux, de découvrir que le raisonnement repose sur un ensemble restreint d’affirmations, sur des règles du jeu qui pourraient être différentes.

Et pourquoi pas un jour de s’intéresser à la géométrie de Gromov ?

Moi, monsieur Collaird, j’y crois tout à fait, à cette petite-graine-boule-de-neige. Rangez donc cette poubelle tout de suite, je vous prie.