Aujourd’hui, séance de découverte de π dans chacune de mes classes de sixième. C’est une séance tout à fait classique dans son déroulé, mais que j’aime, car les élèves sont en même temps inventifs, intéressés et apprennent quelque chose de vraiment nouveau. Mais je me suis aperçue que mes objectifs et mon message avaient évolué, depuis le début où j’animais cette séance. C’est donc pour moi l’occasion de faire le point.

Voici comment se déroule la séance :

L’introduction

J’explique que nous allons découvrir quelque chose de nouveau et d’ébouriffant. Je prends un des objets que j’ai ramenés de la maison, comme le couvercle de la poêle, et j’annonce que je vais demander aux élèves de mesurer le diamètre et la longueur du cercle que porte cet objet. “Comment ?” me demandent mes élèves ; “Débrouillez-vous, il y a du matériel sur la table et si vous avez besoin d’autre chose, vous pouvez me demander”.

“Lorsque vous aurez vos deux mesures, vérifiées par un camarade, vous viendrez me les dire et je les noterai dans un tableur. Ensuite nous les traiterons et nous réfléchirons ensemble. Essayez d’être hyyyyper précis.”

L’explicitation du vocabulaire, qui mène à des concepts

Avant de démarrer toutefois, petit rappel : je demande aux élèves ce qu’est un cercle, ce qu’est la longueur du cercle et ce qu’est un diamètre. La définition du cercle est vite réglée, mais nous l’avons beaucoup travaillée. La longueur intrigue, mais c’est vite plié aussi. Pour le diamètre, je sais que bien qu’étudié depuis longtemps, le mot pose problème. Voici les réponses que j’ai obtenues aujourd’hui sur une de mes séances :

• C’est la moitié du rayon
• C’est un trait qui touche le cercle
• C’est une ligne qui passe par le milieu
• C’est le double du rayon
• C’est la distance entre deux points dans le cercle
• C’est une ligne droite qui touche le cercle au début et à la fin et qui passe par le milieu.

Première étape : étudier ensemble chacune de ces formulations pour dégager une définition cohérente, exacte et formulée correctement. C’est toute une aventure, déjà : au travers de ces propositions on a des abords en termes de mesure (moitié/double/distance) et des abords géométriques (trait/ligne). Nous abordons explicitement la question de la nature mathématique du diamètre, et aujourd’hui une de mes classes a fait le lien avec les angles et la hauteur, dans la catégorie mots mathématiques polysémiques. Pour des élèves de sixième, j’ai trouvé ça très très bien. Comme quoi aller loin vaut le coup. Car derrière ces questions de langage se jouent des questions très conceptuelles.

La mise en oeuvre

Je laisse quinze-vingt minutes aux élèves, et j’observe leurs méthodes. Aujourd’hui, j’ai vu différentes stratégies :

• mesurer à la ficelle, la longueur mais aussi le diamètre ;
• utiliser la règle pour mesurer le diamètre, mais aussi la longueur, en décrivant des tangentes successives ;
• utiliser un feutre pour faire rouler l’objet et marquer la trace sur une feuille ;
• utiliser le compas pour trouver le centre et en déduire le diamètre ;
• tracer le contour de l’objet sur une feuille, coller la ficelle tout du long, à la colle ou avec du scotch, puis la mesurer ;
• coller de la patafix tout partout et appliquer dessus le mètre-ruban ;
• inventer un dispositif de pied à coulisse ;
• placer des points rapprochés (l’élève en a marqué une quarantaine), tracer un polygone et mesurer le périmètre du polygone, puis conserver la valeur obtenue.

Le bilan de la mise en oeuvre

Nous avons repris rapidement les stratégies, mais nous y reviendrons lors de la prochaine séance pour certaines, comme pour celle du polygone, car je me sers de cette méthode moi-même pour arriver à une valeur approchée de π. Globalement, c’est surtout l’occasion que chacun me dise comme un cercle est différent d’un polygone, reformule la définition du cercle (en particulier pour ceux qui utilisent le compas), et la première comparaison apparaît d’elle-même : la longueur est toujours “beaucoup” plus grande que le diamètre.

Je crois que mon objectif à cette étape est que les élèves comprennent de façon profonde le cercle, qu’ils le “vivent”.

Le traitement des données

J’affiche les mesures obtenues par les élèves. Je n’affiche que les trois premières colonnes, et je demande aux élèves ce que nous pourrions bien en faire. Si cela ne vient pas (ça arrive), je leur demande s’ils pensent possible de trouver un lien calculatoire entre diamètre et périmètre. Aujourd’hui, ils voulaient d’abord trouver une constante additive.  Comme ça ne marchait pas, ils ont réfléchi différemment et le “triple, enfin pas loin” a émergé, suivi de près par le concept de proportionnalité. Alors je demande aux élèves de faire apparaître le rapport, pour chaque objet. Ils proposent une division, énoncent la formule à entrer en D2, et suggèrent un copier-glisser. L’utilisation du tableur est réactivée, impec.

 Voici une des séries, extraordinairement précise :

Habituellement, j’ai des séries moins précises. Aujourd’hui, c’était magique. Les élèves ont vu la proportionnalité, et semblent avoir bien accepté les variations dues aux erreurs de mesure. Un élève, qui n’en pouvait plus de se taire depuis le début de la séance, a enfin pu déclarer avec emphase : “c’est π, en fait, ça devrait faire trois-quatorze partout !”.

Avant de poursuivre, nous discutons précision : finalement, qu’est-ce qui fait qu’une mesure est proche ou “trop” imprécise ? Nous étudions l’impact d’erreurs de mesure assez mineures sur la valeur du rapport obtenu. Cela nous montre comme les manipulations sont délicates, et comme expliquer est plus intéressant que juger.

π, le coefficient de proportionnalité

Nous revenons alors sur ce que nous venons de découvrir, et que je confirme aux enfants : en effet, le diamètre et la longueur du cercle sont proportionnels, et le coefficient de proportionnalité est un nombre qu’on note π et qu’on appelle pi. C’est pas dingue, ça ? Si, les élèves semblent partager mon émerveillement. J’ai en face de moi une intensité de regard extraordinaire. Les questions fusent : comment on sait combien ça fait ? Qui a trouvé ça le premier ? Comment on le calcule ? Est-ce qu’on peut le calculer, d’ailleurs ? Pourquoi on l’écrit comme ça ? Pourquoi ce signe-là et pas un autre ? Est-ce que l’aire du disque elle sera aussi proportionnelle au diamètre ? Mais tout ça, à part “pourquoi ce signe-là”, c’est pour les deux prochaine séances. Je l’explique, mais toutes les questions sont notées pour être bien sûrs de n’en oublier aucune par la suite.

Et là ça ne rate jamais : des élèves remarquent des affichages sur π, et qu’il y a “beaucoup de chiffres” sur ces affichages. C’est le moment de regarder le mur du fond de la classe.

π, nombre d’une nature inédite

Sur le mur du fond, il y a les premièrs chiffres significatifs de π, dessinés par mes élèves des trois premières années où j’étais dans cet établissement : 3, la virgule et les 475 décimales suivantes. Mais voilà, ce n’est que le début, car nous pourrions continuer à l’infini… Je me lance alors dans la première explication (il y en aura d’autres dans la semaine à venir, puis des réactivations) quant à la nature de π. Quand je demande aux élèves quels types de nombres ils connaissent, ils me citent les entiers, les décimaux et les fractions. Alors je leur explique que π appartient à une autre famille encore : ils sont bien d’accord, π n’est pas entier. Pourquoi n’est-il pas un nombre décimal ? “Parce qu’un nombre décimal, ça se termine à un moment donné”. Et pourquoi n’est-ce pas une fraction ??? J’ai toujours quelques élèves pour répondre comme aujourd’hui : “parce que quand on fait la division d’une fraction, ça se répète, et là ça a pas l’air”. Ce moment-là, c’est mon moment d’évaluation à moi : ai-je bien travaillé cette année ???

Evidemment, ce ne sont pas des preuves. Mais les élèves eux-mêmes comprennent ma démarche sur l’année : “c’est pour ça que vous nous avez dit tout ça, c’est pour qu’on arrive à comprendre aujourd’hui ?” Bin oui, j’avais un plan. Le fait qu’ils parviennent à faire ces liens est pour moi une grande satisfaction, comme le fait qu’ils cherchent à comprendre mes chemins pédagogiques et didactiques : ils savent qu’il y a une logique, et c’est important.

A suivre…

Nous nous quittons sur des promesses : il nous reste des tas de choses à apprendre sur π, et particulièrement quoi en faire pour résoudre des questions mathématiques. J’évoque les ouvrages sur π de la bibliothèque de travail, souvent empruntés aussitôt, des affichages qu’il nous faudra évoquer, l’utilisation de la calculatrice, les éléments d’histoire que nous allons aborder. Tout un programme !

Conclusion

Si on se réfère au triptyque manipuler-verbaliser-abstraire, on est bien dedans :

• manipuler pour comprendre au sens kinesthésique du terme, pour percevoir le problème, pour FAIRE des maths, les lier au concret, pour s’engager différemment, pour prendre des initiatives ;
• verbaliser pour s’engager vers la conceptualisation, pour développer le lexique, pour insister sur la précision du vocabulaire, pour corriger des erreurs de représentations mentales, pour expliciter, pour réactiver, pour échanger, pour ouvrir sur de nouvelles questions, pour catégoriser…
• abstraire : cette séance, et même cette séquence, permet de revenir un objectif majeur pour moi : réfléchir vraiment à la nature des objets mathématiques, comprendre, accepter et jouer avec leur nature “mentale”. Assumer cette abstraction, la revendiquer, car elle est l’essence des mathématiques : que nous discutions de ce qu’est un diamètre, de l’existence physique ou intellectuelle du cercle ou que nous nous interrogions sur la nature du nombre π, nous faisons vraiment des maths. Et c’est aussi pour cette raison que cette séance plaît tant aux élèves : nous allons loin, ils le savent. Ce ne sont d’ailleurs pas les élèves en difficulté “régulière” qui peinent le plus : on touche à des concepts, et tous peuvent s’engager s’ils s’en donnent la peine. Et comme ils sont curieux et qu’ils se laissent emmener par mon enthousiasme, ils s’en donnent la peine, pour une grande majorité en tout cas (j’évalue ce qu’ils ont retenu, la fois suivante).

Allez, juste pour le plaisir :