Séminaire 2021 de l’APMEP : savoir raisonner de façon abstraite, est-ce une nécessité absolue ?

C’est Gilles Dowek qui présente la première conférence de cet après-midi : pourquoi devons-nous enseigner les mathématiques au collège et au lycée ?

Gilles Dowek nous a invités à visionner cette vidéo de la chaîne Osons causer, et nous a passé un extrait autour de 10min30 :

Ce vidéaste exprime que “oui, les maths ça sert à rien, mais faut les travailler quand même”, pour illustrer son propos sur ce qu’il appelle “la bonne volonté culturelle”. On ne sait pas trop s’il le pense ou s’il se met à la place de …, mais c’est vrai que cela aurait mérité une petite mise en perspective. Gilles Dowek s’est étonné qu’on ait laissé dire ça sans réagir (parce que nous avons l’habitude que l’enseignement des maths soit “traîné dans la boue” ?) : cela a un certain nombre de conséquences. Il aimerait bien qu’on réagisse, monsieur Dowek. Pour montrer que nous sommes là (et que oui, nous sommes susceptibles), mais pas seulement.

Le coeur de l’intervention de Gilles Dowek, c’est d’amener à discuter bien plus la question du pourquoi, sans en avoir peur.

Il existe une tension entre l’idée que les maths sont une activité désintéressée et celle qu’elles sont utiles. Cette tension existe en amont sur le rôle de l’école : l’école doit-elle donner accès la toute la culture à tout le monde, ou doit-elle “faire quelque chose d’utile”, comme préparer les jeunes à avoir un métier. Il y a là une tension entre un idéal aristocratique et un idéal bourgeois, qui dépasse les clivages gauche-droite.

Pour certains, les mathématiques constituent un contenu culturel universel : il y a une culture mondiale de la science et en particulier des mathématiques, et deux mathématiciens d’origines et de cultures différentes peuvent se comprendre sans trop de peine. Pour d’autres, les maths permettent de ne pas dire n’importe quoi ou sont l’honneur de l’esprit humain.

Gilles Dowek nous a fait traverser quelques siècles pour nous montrer comme les mathématiques permettent de penser le monde dans lequel nous vivons, à coup de myriades, d’univers borné ou pas borné et de grains de sable, avec des règles de trois et des marges d’erreur. A force de changer les priorités pour comprendre le monde d’aujourd’hui, on a perdu du sens et on a perdu les enseignants : au final, les mathématiques servent à ceci, et puis non à cela, et ça dilue le coeur de la question.

Est-il plus important de savoir la différence entre un nombre rationnel et un nombre irrationnel, ou de savoir la différence entre la moyenne et la médiane ?

Mmmmh, bonne question. Je crois que j’ai choisi, mais peut-être demain aurai-je changé d’avis.

Les mathématiques sont diverses. Certains théorèmes sont désintéressés, d’autres sont utiles, et les maths ont cette grandeur d’accueillir en leur sein les deux démarches. Simplifier est donc se tromper. Il faut assumer cette complexité.

Quand on enseigne, il est nécessaire de faire des choix, en cohérence avec la question “pourquoi enseigner les mathématiques ?”. Si on veut enseigner ce qui est utile, il faudrait enseigner l’exponentielle : le contexte épidémique l’a furieusement montré avec le taux de reproduction. La croissance épidémique n’est ni isocèle, ni équilatérale, elle est exponentielle… Cela donne à penser que la géométrie est à relativiser. Mais si on veut enseigner les maths pour raisonner juste, alors c’est plutôt la géométrie qui nous est nécessaire ! Encore que l’analyse, l’algèbre, la théorie des graphes ou l’arithmétique aussi amène à raisonner, et pas moins qu’en géométrie. Rha, zut, c’est compliqué. Pourquoi alors considère-t-on parfois que la géométrie est un “meilleur” support pour raisonner ? Peut-être parce que dans d’autres domaines on propose surtout des exercices plus procéduraux, comme en algèbre la résolution d’équations. C’est très algorithmique, la résolution d’équations “scolaires”.

Une autre question est celle du lien entre le type d’objectifs qu’on définit pour son enseignement et la manière d’évaluer ses élèves. Je la trouve centrale, cette question de Gilles Dowek. Si l’objectif est de donner aux élèves des éléments utiles, alors il faut évaluer la capacité à utiliser par exemple la notion de croissance exponentielle dans leur vie quotidienne. Gilles Dowek a cité les propos d’un médecin : “Les gens de santé publique pensent que sur la courbe expo nous sommes actuellement sur la croissance lente, et que bientôt nous atteindrons le point d’inflexion” (source). Bon, lui, il n’a pas acquis la croissance exponentielle. Mais si on veut faire des maths “gratuites”, apprendre comment on raisonne, il faut évaluer leur propre construction de raisonnements plutôt que des reproductions procédurales et algorithmiques. D’où l’importance de clarifier les objectifs de l’enseignement de tel ou tel élément des programme, pour aligner l’évaluation avec les objectifs de l’enseignement.

Il y a une spécificité particulière aux mathématiques, avec un plus grand malaise des enseignants de mathématiques qui ont été tellement victimes d’injonctions contradictoires qu’ils ont du mal à s’emparer sereinement de cette question. C’est intéressant, je trouve, cette idée. Il faut que j’y réfléchisse, mais formulée ainsi par Gilles Dowek elle me semble maintenant très claire.

Est-il si important, au fond, de savoir raisonner juste ou de savoir utiliser des notions mathématiques dans la vie quotidienne ? On le dit, on l’assène, mais comment l’argumente-t-on ? Parfois un même problème est peu accessible dans sa version abstraite, et est réussi majoritairement dans un cas concret, sans vraiment de raisonnement, avec du “bon sens”. Mais alors le “bon sens” suffit-il, et est-il inutile de savoir raisonner ? La réthorique n’est-elle pas plus efficace que le raisonnement, dans la vie courante ? Même les mathématiciens font des concessions sur ce plan. Alors peut-être manque-t-il un élément dans notre propre raisonnement et peut-être devons-nous reconnaître que raisonner de façon abstraite n’est pas une nécessité absolue. Ce qui est important en revanche, c’est de savoir bien raisonner dans le monde dans lequel nous vivons : tout le monde doit comprendre un minimum ce qu’est un modèle de climat, un vaccin, un algorithme ou comment repérer un argument fallacieux.

Aujourd’hui finalement la pensée abstraite est tout aussi importante pour comprendre le monde que pour agir sur lui. Les révolutions techniques font que les deux fonctions, aristocratiques et bourgeoise, aujourd’hui, se rejoignent. Les évolutions scientifiques et techniques font qu’on ne peut pas se limiter à la question de l’enseignement des mathématiques : il faut parler de sciences (et aussi arts, etc.). Sinon, on risque de passer à côté du coeur de la question. On pourrait se poser la question de la légitimité de séparer les départements de maths “pures” et de maths appliquées, aussi.

Ca tape, cette conférence : Gilles Dowek a un débit de parole (sans parler intellectuellement…) très rapide et j’ai dû parfois m’accrocher pour suivre. Mais ça en valait la peine : c’est une conférence avec son lot de questions poil à gratter, et je crois que c’est important de sortir de notre zone de confort et de nos ritournelles.

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