Voilà le genre de question qu’on se pose, en Belgique, au congrès des matheux de langue française. La conférence d’ouverture du congrès d’intitulait : La suite logistique : chaos et régularité, par le drôle, intéressant et démonstratif Daniel Perrin.

Le sujet auquel s’est intéressé Daniel Perrin est au départ concret : c’est celui de l’évolution des populations, mais il existe de nombreuses autres applications. La suite logistique est un exemple de modèle déterministe qui peut conduire au chaos : c’est le fameux effet papillon. Depuis Poincaré, on sait qu’une petite variation des conditions initiales peut avoir des conséquences importantes.

Le contenu de l’intervention de Daniel Perrin est, pour son point de départ, accessible pour des élèves de lycée. On peut l’explorer da façon expérimentale. Et le côté continu est accessible au lycée ; en revanche le côté suite est plus ardu et certains aspects posent encore beaucoup de questions.

Les modèles exponentiels remontent aux travaux d’Euler en 1760 (Recherches générales sur la mortalité et la multiplication du genre humain). On aboutit à une suite géométrique. Mais il existe aussi un modèle continue, qui donne y’=ay. C’est le seul cas où le modèle continu et le modèle discret donnent des résultats à peu près identiques. Lorsque a>0, ces modèles deviennent absurdes. Il faut être prudent sur l’expression « croissance exponentielle », car dans la réalité cette croissante n’existe pratiquement jamais au sens strict.

En temps discret, les hypothèses sont analogues à celles du modèle de Verhulst. On introduit un rapport entre la population et la population maximale, et on se ramène à une suite définie par u(n+1)=f(u(n)) avec f(x)= µ x(1-x).

Daniel Perrin nous a rappelé des résultats sur les points fixes attractifs et répulsifs, et a considéré le ou les points fixes du cas qui nous intéresse. Puis il nous a parlé de ce que sont des points périodiques, du théorème de Coppel, de flip-flop et de rejet sauvage de points entre eux. Épique, c’était. Daniel Perrin a fait face à un petit souci technique en nous chantant une petite chanson et en s’adaptant, et c’est définitif, j’adore son style.

Nous avons enchainé sur le théorème de Feigenbaum, avec la « fameuse valeur de Feigenbaum », qui est une constante universelle.

Nous sommes arrivés au cas « facile et spectaculaire » : µ =4. Quand c’est chaotique, f est sensible aux conditions initiales. Mais très très sensible, hein. Avec de toutes petites variations.

Daniel nous démontré que pour µ=4 la suite est chaotique, en utilisant le nombre de Champernowne en base 2. Bon en gros, la partie entière on s’en fout et sinus carré est lipschitzienne, et j’avoue avoir décroché en cours de route. Mais comme Daniel Perrin illustre son propos régulièrement, j’ai pu raccrocher les wagons en admettant ce que je n’avais pas compris dans le temps imparti. Bon, après c’était la partie « Des questions plus difficiles ». Mais quand même, la cascade à doublement de période, c’est rigolo.

Pour finir, Daniel nous a fait une petite démo super chouette. Un petit régal.

Sur le site de Daniel Perrin, vous trouverez des tas de ressources et d’autres conférences. Pour ma part, je vais tourner autour de Thalès, dès que j’aurai un moment.