Premier atelier de l’après-midi au congrès des profs de maths belges d’expression française : Les abeilles, géomètres en avance, par Jean-Jacques Quisquater.

Savoir si avec un motif régulier on peut couvrir le plan avec un minimum de matière, ce que les abeilles font depuis trèèèèèèès longtemps, n’a été résolu qu’en 2001. Il est des choses qu’on croit simples, qu’on croit savoir, mais non non non.

Jean-Jacques Quisquater avait envie de parler de plein plein de choses, pour aboutir à la conclusion qu’il y a des hexagones partout. Mais il a choisi de butiner plutôt que d’être académique. Nous allons donc nous balader dans des tas d’hexagones dans des contextes très variés.

Les abeilles et les frelons, la guêpe étant juge est une fable de Phèdre, dans laquelle les abeilles et les frelons se disputent un nid. Alors on appelle une guêpe pour départager les deux camps.

LES ABEILLES ET LES BOURDONS PAR-DEVANT LA GUÊPE

Des abeilles au haut d’un chêne avaient fait des rayons ; et ces rayons, des bourdons propres à rien disaient qu’ils leur appartenaient. Le différend fut porté devant le tribunal de la guêpe. Comme elle connaissait très bien l’une et l’autre espèce, voici la convention qu’elle proposa aux deux parties : “Vous n’êtes pas sans vous ressembler par la forme du corps et votre couleur est la même, de sorte que sur le fait le doute est tout à fait permis. Mais, pour que ma conscience ne juge pas à faux faute d’être éclairée, prenez ces ruches et versez votre récolte dans des alvéoles de cire, afin que le goût du miel et la forme des rayons fassent voir, pour ceux dont il s’agit dans cette affaire, quel en est l’auteur. » Les bourdons se refusent à l’épreuve ; les abeilles l’acceptent volontiers. Alors la guêpe prononça cette sentence : « On voit bien clairement qui n’est pas capable de faire cet ouvrage et qui l’a fait. C’est pourquoi je rends aux abeilles la jouissance de leur bien. » J’aurais passé cette fable sous silence, si les bourdons n’avaient pas refusé de tenir leur engagement.

Le théorème du nid d’abeille a longtemps été une conjecture. Il dit que l’hexagone est le polygone de plus petit périmètre qui permet de paver le plan en surfaces égales. Pour des champs, le meilleur compromis est le cercle, du point de vue surface/technique d’arrosage.

Voici deux exemples complètement faux : dans la première illustration, les cavités sont représentées verticales alors qu’elles sont inclinées. Dans l’illustration de droite, il manque un rayon à chaque fois.

Jean-Jacques Quisquater nous a montré des pièces, bâtiments, morceaux de fusées qui utilisent les hexagones, pour optimiser les contraintes (de résistance des matériaux, de diffusion de la chaleur…). La répartition de stations GPS, le kevlar, le remplissage de structure par impression 3D se ramènent aussi aux hexagones. Mais une carapace de tortue aussi a recours aux hexagones, et sur Saturne on a découvert un hexagone polaire, en 1981, de 13 800 km de côté.

La spirale hexagonale de Ulam est assez surprenante, aussi : on indique dans une couleur les nombres premiers et dans une autre couleur les nombres composés, et son suit l’enroulement des nombres ; le résultat montre des motifs, des alignements, qui ne semblent pas « aléatoires ».

Vous connaissez le rikudo ?

Ca, c’est très très chouette :

Et puis bon, nous sommes en Belgique ; connaissez-vous les frites hexagonales, moins grasses, chaudes plus longtemps ? Ou les gaufres hexagonales ?

Je ne peux pas vous rapporter ici tous les exemples que nous a montrés Jean-Jacques Quisquater : des pièces de monnaie aux verres de Murano, des bulles de savon à la structure de la peau des éléphants, des glaçons aux ananas, des lézards aux timbres, des libellules aux éponges… Moi je pense que les hexagones ont déjà conquis le monde.

Californie à gauche, Sicile à droite