Nous voilà à la conférence de clôture des Journées Nationales 2021 de l”APEMP.

C’est l’histoire d’une petite fille, Léa, qui rencontre des maths au fil de sa vie.

Léa naît, et on lui attribue un numéro de sécurité sociale.

La clef du numéro INSEE permet de détecter un certain nombre d’erreurs : comme elle est obtenue en déterminant le reste de la division euclidienne par 97 du nombre constitué par les 13 premiers chiffres, à moins de rajouter un multiple de 97, on se rend compte qu’il y a un souci. Pourquoi 97 ? Parce que c’est le plus grand nombre premier qui s’écrit avec deux chiffres. C’est plus improbable de se tromper en ajoutant un multiple de 97 que si on avait choisi 2, par exemple.

Ensuite, nous avons parlé format de feuilles. Le format A est fait de sorte qu’à chaque passage d’un format au successeur, on double : un A3, c’est deux A4. Mais en plus, les rapports longueur/largeur sont conservés, avec la longueur du An+1 qui est la largeur du An et la largeur du An+1 est la longueur du An. Ca donne ça :

Léa rentre à l’école. On entend le recteur dore « Cette année, les classes sont composées en moyenne de 23,25 élèves », alors que les parents d’élèves disent « Cette année, nos enfants sont dans des classes de 25 élèves en moyenne ». Pourtant, personne ne ment : avec 3 classes de 27 élèves et une classe de 12 élèves, on a bien une moyenne de 23,25 élèves, alors que les parents, calculent (81×27+12×12)/93. C’est juste que chacun a un point de vue différent et ne compte pas la même chose.

Léa passe le bac, celui d’avant, au temps où il y avait des sections.

Tout est une question d’effectifs : c’est le paradoxe de Simpson.

Léa ouvre un compte bancaire. Elle obtient donc un numéro de compte, composé du code de la banque sur 5 chiffres, du code du guichet sur 5 chiffres, le numéro de comptes à 11 chiffres et le clé RIB à deux chiffres. Encore une fois, on utilise 97. Le numéro de compte total doit être divisible par 97, avec la clef RIB. Pour l’IBAN, on a 34 caractères au maximum, avec le code du pays, une clef de contrôle et 30 caractères au maximum.

Cette fois, en ayant transformé les lettres en chiffres, on vise un reste de 1 par la division euclidienne par 97. Il y a donc une double clef de contrôle, celle du RIB et celle propre à l’IBAN.

Léa voyage. Elle va de Rouen à Vancouver. On est sur le 49^e parallèle. Et la distance sur le planisphère n’est pas la même que la distance sur la Terre :

Que donne une géodésique sur un cube ?

Léa écoute de la musique et regarde des séries. Et parfois, ça ne marche pas.

Le bit de parité permet de détecter si le message transmis est faux : il faut que le nombre de 1 des mots soit pair pour être valide, puisque le bit de parité rend le nombre pair de toute façon. Cela permet de savoir que le message est faux, mais pas de savoir où est l’erreur pour la corriger. On a donc mis en place des codes correcteurs d’erreurs. Ils se basent sur des calculs faits dans l’ensemble constitué de 0 et de 1, où on met en place des règles de calcul d’addition (0 est pair et 1 impair, donc 1 et 1 donne 0, etc.), de multiplication, de soustraction. On peut aussi diviser par 1 : 0/1=0 et 1/1=1. L’ensemble est alors un corps fini, ce qui a été développé particulièrement par Évariste Galois.

Le code de Hamming fait en sorte qu’on détecte et on corrige une erreur, en ajoutant aux 4 caractères à transmettre trois autres caractères qui sont des sommes :

Si on suppose qu’on n’a fait qu’une erreur sur nos quatre caractères à transmettre, il suffit d’aller chercher dans la liste des codes valides celui qui diffère d’un seul caractère de celui transmis. Mais le problème c’est qu’on peut avoir fait plusieurs erreurs, et puis aussi que souvent on doit transmettre des messages plus long. Il faut donc mettre en place des théories qui soient efficaces sans être trop lourdes. On recherche un compromis entre vitesse et efficacité, et c’est toujours un objet de recherche. Vers 1950, Shannon, Varshamov et Gilbert ont montré qu’il existe une longueur de code optimale, mais il faut encore savoir comment faire.

Léa construit sa maison. Elle a un projet de construction sous la forme de plan d’architecte, qui prend en compte des contraintes, de terrain, de dimensions, de coûts, de solidité, etc. Léa consulte sa banque pour établir un plan de financement. Elle s’interroge sur sa terrasse.

L’analyse multi-échelle permet d’étudier les dégradations possibles de la structure de la terrasse en essayant de comprendre comment une structure à petite échelle (un petit trou, plusieurs petits défauts à proximité l’un de l’autre) peut avoir des conséquences importantes (une grande fissure). C’est un domaine applicable à des tas de contextes, comme l’aéronautique.

Léa fonde une famille.

Un indice peut être calculé de façons diverses. Par exemple, on regarde combien les femmes nées à une certaine année ont eu d’enfants par tranche de 10 ans. Mais on peut aussi se donner une année donnée et regarder, par tranches d’âges, le nombre d’enfants qu’il y a eu. C’est ainsi qu’est calculé l’indice strcutrel de fécondité. Pour qu’il y ait un renouvellement de la population, il faut que chaque femme donne naissance à une fille en moyenne. En France cela implique que l’ICF devrait être de 2,1 car plus de garçons naissent que de filles.

Le mot de la fin :

Il est plus facile d’apprendre les mathématiques que d’apprendre à s’en passer, Henri Cartan

Cette conférence aborde des points faciles à transmettre à nos élèves qui nous interrogent sur “les maths, à quoi ça sert ?”