Alors là, j’ai besoin de votre avis sur ma résolution. Il s’agit encore d’un exercice turc, mêlant un côté énigme avec de l’arithmétique.
AB désigne le nombre à deux chiffres constitué de A dizaines et B unités. BA désigne donc le nombre à deux chiffres constitué de B dizaines et A unités.
On sait que AB x BA est divisible par 30.
Question : que vaut A +B ?
Voilà comment j’ai procédé, chronologiquement :
- 30 est divisible par 10, donc le chiffre des unités de AB x BA est 0.
- Le chiffre des unités de AB x BA est aussi le chiffre des unités de B x A.
- A et B ne peuvent pas être égaux à 0, je pense, car sinon un des nombres AB et BA n’est pas un nombre à deux chiffres au sens où on l’entend habituellement.
Conclusion : il faut que le couple (A ; B) contienne un 5. Dans ce cas, l’autre nombre est 2, 4, 6 ou 8.
Les sommes possibles sont donc 7, 9, 11 ou 13, et seul 9 figure dans la liste.
9, ça marche bien avec 4 et 5, d’ailleurs.
Là, je me suis dit, tiens, j’aurais aussi pu éliminer d’emblée les réponses 8 et 16 car la somme de A et B est forcément multiple de 3, puisque AB ou BA est multiple de3.
…
J’ai l’impression de passer à côté de quelque chose de simple et d’efficace.
Des suggestions ?
J’ai choisi d’écrire P = AB × BA sous la forme ( 10A + B)(10B + A) que j’ai développé :
P=100 A×B + 10 A² + 10B² + A×B
Puisque ce nombre est multiple de 30 donc de 10 alors A×B est multiple de 10 donc l’un des deux nombres est 5.
Puisque les deux nombres jouent un rôle symétrique, choisissons B = 5.
P = 100 A×B + 10 A² + 10B² + A×B = 500A + 10A² + 250 + 5A = 10A² + 505A + 250
De plus A est pair donc A = 2 ou 4 ou 6 ou 8.
Si A = 2 alors P = 1300 n’est pas multiple de 30
Si A = 4 alors P = 2430 = 30 × 81
Si A = 6 alors P = 3640 n’est pas multiple de 30
Si A = 8 alors P = 4930 n’est pas multiple de 30
La seule valeur possible pour A est donc A = 4 et donc A + B = 9