Ce matin, au petit dej, mon mari et moi discutions de la résolution des équations. Avec un de ses élèves en Ulis, il essaie de lui faire comprendre le principe de résolution, mais c’est difficile : son élève n’a déjà pas encore bien intégré la réversibilité addition/soustraction et multiplication/division, alors déterminer quelle opération appliquer pour conserver une égalité, c’est évidemment difficile. Cela m’a rappelé un échange avec des élèves de quatrième cette semaine, qui était très intéressant.

Nous avions introduit les équations depuis un moment, résolu des tas de calculs à trous, et commencé à représenter parle calcul littéral. Nous avions modélisé les équations du type x+a=b, et ça roulait plutôt pas mal, quels que soient les natures et les signes des nombres a et b.

Nous sommes arrivés devant une équation du type 3x+5=2. Comme nous avions manipulé avec mes cubes et le système de mon collègue Gani Mohamed, les élèves ont tout de suite compris que je les faisais monter en compétences et qu’il allait falloir diviser, “parce que 3x c’est trois fois x et que pour décrocher la multiplication par 3 il faut une division”. Nous avons discuté priorités de calcul, dégagé des règles, puis nous avons traité d’autres exemples, et nous sommes arrivés là où je savais que ça allait être dur-dur : une équation du type -6x+2=11.

Les élèves ont commencé par soustraire 2 dans chaque membre de l’égalité, certains mimant les plateaux de la balance avec leurs mains, d’autres ayant un accès plus direct à la résolution calculatoire. Et ensuite ? Quand on est devant -6x=9, on fait quoi ? Hé bien pour la majorité des élèves, on additionne 6, voilà.

Alors j’ai souri, parce que je m’y attendais et que j’aime bien aider les élèves à surmonter des obstacles. Comme là j’étais dans ma zone de confort, c’était tranquille. Nous sommes revenus à ce qu’est -6x. Tout le monde m’a dit: “c’est x multiplié par -6”. “Alors on fait quoi ?” ai-je demandé. Réponse :

Bin en principe on devrait diviser, mais quand même on va pas diviser par un nombre négatif ??? … On peut, madame, diviser par un nombre négatif ?

On n’aurait pas étudié la règle des signes ? On n’aurait pas appris à gérer les divisions par des nombres négatifs ?

Si mais c’est pas pareil, là faut diviser-diviser, avec la règle des signes, on fait des calculs.

Il y a deux enseignements à ces échanges :

• Je n’ai pas réussi à donner assez de sens à la règle des signes. En même temps, je comprends : je l’ai démontrée, et pour certain(e)s c’est donc du domaine de l’abstraction, de l’idéalité, voire de la bidouille ;
• Diviser, cela reste faire des paquets ou déterminer combien d’objets il y a dans les paquets. Et on ne peut pas constituer concrètement des nombres négatifs de paquets, ni mettre dans des paquets un nombre négatif d’objets. Ces représentations de ce qu’est la division datent de l’école et ne sont pas facilement adaptables pour les élèves, comme beaucoup d’approches apprises à l’école. Il y a la division-division, qui a du sens, et la division-calcul, qui est manifestement autre chose.

C’est sur cette question que mon mari a eu une idée, appuyée sur du repérage, et je vais essayer. Mais on est de toute façon dans une difficulté robuste : on ne peut pas tout représenter concrètement, parce qu’à un moment donné le but est justement de passer à l’abstraction. En même temps, certains élèves en ont besoin, de manipuler, et il faut aussi les accompagner.

Bref, c’est compliqué, et passionnant.