Bon, j’ai loupé le début de la conférence : j’ai rencontré quelques désagréments embouteillesques, et en arrivant j’ai pris le temps de boire des cafés et de goûter ce gâteau qui avait l’air tellement bon (et qui l’était). Mais ça y est, j’y suis :

J’ai quand même pu profiter du premier exemple, celui de Leibniz, avec une approche par le travail sur l’erreur, très intéressant.

Un exemple en lycée

Le deuxième exemple est consacré à Euler et s’adresse à des élèves de seconde ou de lycée en général ;

Un livre de l’IREM devrait paraître à l’automne sur ce thème. En fait, dans ce texte d’Euler, on trouve un algorithme qu’on peut proposer aux élèves pour le prolonger, par une étape supplémentaire, ou par exemple pour calculer la racine de 5 ou la racine de 9. On pourrait chercher à le programmer, mais le texte n’expose pas la formule de récurrence, et passer du texte d’Euler à l’algorithme demande d’écrire une suite définie par récurrence. Il faut repérer que cet algorithme est itératif, et on peut se demander si il s’arrête ou si on le fait tourner à l’infini : on est ramené à des questions de théorie des nombres et d’algorithmique. Du point de vue théorique, on sait qu’on ne s’arrête pas puisque racine de 20 est irrationnel. Il est aussi possible de réfléchir à la complexité.

Mais cet algorithme pose aussi des questions : s’applique-t-il à tout entier ? Se limite-t-il à des racines carrées ? Si la fonction n’est pas un polynôme, que peut-on faire ? Quel est le public visé par le texte, avec quelles connaissances ? Et quelles sont les connaissances d’Euler, au travers de ce texte (il n’aborde pas la solution négative, cela signifie-t-il qu’il ignore les nombres négatifs ? Spoiler : non) ? Ce texte n’est pas un peu texte d’algorithmique, car Euler donne des explications et lui porte un aspect heuristique. On n’est pas non plus dans une démonstration…

Renaud Chorlay nous a montré des traces de séances de classe, en lycée, très intéressantes car on fait des maths scolaires mais pas seulement, et on prend du recul pour réfléchir à ce qu’est l’activité mathématique.

Troisième exemple, en école-collège

Il s’agit d’une expérience interdegré, CM2-6e. La tâche élève a été voulue comme la plus en autonomie possible, avec un cadrage pensé en ce sens.

Renaud Chorlay a vraiment adopté une entrée très intéressante et bien ficelée, avec les documents didactiques et pédagogiques, vidéo incluse, pour que nous comprenions sa démarche. Cette histoire de multiplication per gelosia me plaît beaucoup… Ici, un article du Grand N n°100 explique tout ça, et j’y ai retrouvé le nom de la normande Blandine Masselin… 😉

Nous avons pu voir ce que ce travail a donné dans des productions élèves, et ça donne envie. J’y ai retrouvé des invariants que je lis dans les productions des élèves de CM2 d’Aline, ma super collègue de circo.

Un autre exemple est apparemment celui de la division par 2 d’entiers, en partant des unités, et non de la gauche du dividende comme nous en avons l’habitude. C’est top, car cela a été une question pendant longtemps récurrence pour mes élèves. C’est du Al Khwarizmi, derrière, avec le livre du calcul indien.

Une fois que les élèves comprennent qu’on effectue une division par 2, on leur demande pourquoi ça marche. Les élèves ne peuvent pas expliciter la distributivité mais ils peuvent en expliquer le, principe, et le reste des connaissances nécessaires est à la portée d’élèves de CM1-CM2. Renaud Chorlay nous a montré des productions d’élèves de sixième ou de CM2, assez renversantes tant elles sont pertinentes. Des élèves, par exemple, utilisent que 0,5 centaines, c’est 5 dizaines.

Quatrième exemple au collège

Et là bim, c’est pile ce que vais ou que j’ai commencé en 5e, selon que je pense à l’une ou l’autre de mes deux classes. Pour ma part, je m’appuie sur la vidéo de e-penser, très pédagogique et sympa pour les élèves.

Renaud Chorlay a bien insisté sur les aspects forts de modélisation de cette approche pour des élèves, qui est exactement ce pour quoi je l’ai choisie et conservée. C’est rare que je conserve une activité si longtemps, d’ailleurs. Pour moi elle est une activité d’introduction. Côté tâche de classe, on peut choisir de demander, en fin de chapitre, de faire une figure qui rende compte du texte (éventuellement simplifié). Les productions qui nous ont été montrées ne sont pas très satisfaisantes, mais très intéressantes car elles montrent des erreurs de modélisation qui ne donnent pas des dessins fonctionnels pour travailler. Il faut donc adapter la tâche, mais sa richesse est évidente.

La question des sources

Renaud Chorlay nous a montré deux images de sites connus qui comportent des erreurs, explicables mais qui ont vraiment éveillé mon intérêt et m’ont bien montré les limites… L’IREM de Rennes propose des analyses qui aiguisent l’appétit des neurones, ici.

Culture Maths, des publications de Vuibert, d’autres par la commission inter-IREM, et évidemment l’incroyable ouvrage Passerelles, pépite absolue, sont des ressources sûres.