Cette semaine, nous sommes revenus sur les calculs de pourcentage, en quatrième : nous avons travaillé les pourcentage depuis la sixième, mais maintenant nous connaissons le produit en croix, que nous avons expliqué et justifié rigoureusement, ce qui nous permet de calculer des quatrièmes proportionnelles rapidement. Mais de ce fait, nous avons à notre disposition tout un tas de méthodes (évidemment équivalentes) pour mener les calculs de pourcentage. Et ce qui est intéressant, c’est que les élèves ont fait des choix très différents. J’aime beaucoup ça : cela me conforte dans mon choix de développer explicitement un répertoire de techniques, toutes justifiées, pour atteindre le plus grand nombre.

Prenons un exemple, une des questions traitées ces jours-ci :

Solution 1 : garder le sens, étape par étape

Les élèves qui recomposent les pourcentages par linéarité additive et multiplicative sont nombreux, cette année, dans mes deux classes. Celles et ceux-là, pour le moment, refusent le produit en croix. Ils et elles savent techniquement l’appliquer, mais se heurtent à deux types de difficultés différentes :

• dresser un tableau de proportionnalité cohérent : où met-on les données ? C’est quoi 100% dans le tableau ? Il y a des tas de façons d’agencer les données correctement, mais aussi de faire des erreurs, et ces élèves ne se sentent pas sûrs d’eux. Ils craignent de s’être trompés, comme si leur façon de remplir le tableau était en partie aléatoire. En fait, je pense que c’est en même temps la compréhension de consigne et la représentation de données qui les bloque.
• appliquer le produit en croix ne pose pas de problème, mais donne l’impression de perdre le sens. Les élèves qui procèdent comme ci-dessous veulent savoir à chaque étape de quoi ils parlent. Le côté technique pure du produit en croix les embête.

Décomposer et recomposer un pourcentage sécurise ces élèves car “il n’y a que deux colonnes à s’occuper”, m’a dit un élève. Ces élèves résolvent ce type de question sans calculatrice : ils posent les calculs si nécessaire et veulent tout comprendre. Leur solution est assortie d’une phrase réponse qui remet en contexte. Cela donne ce genre de chose :

Solution 2 : le retour à l’unité

Dans la même idée, il y a les élèves qui passent par le retour à l’unité. C’est un peu comme au-dessus, mais pas tout à fait, mentalement : ces élèves recourent systématiquement au retour à l’unité dans les exercices de proportionnalité, et lorsqu’ils m’en parlent ils fractionnent vraiment, intellectuellement : “je prends un centième et après je fais ce que je veux”. Ce sont des élèves moins à l’aise en calcul mental que les précédents. Leur solution est assortie d’une phrase réponse qui remet en contexte.

Solution 3 : le tableau de proportionnalité et le produit en croix

On a encore trace de ce que décrivent les nombres engagés, mais on décolle du sens. Les élèves ne sont pas forcément dans l’incapacité de réexpliciter le sens, mais parfois si : certains sont capables de résoudre la question, font figurer leurs calculs, mais ne savent pas conclure par une phrase réponse, par exemple parce qu’ils ont perdu de vue de quoi on parle. Lorsque je demande à ceux-là ce que signifie 1,296, ils me répondent parfois 1,296% ou 1,296 personnes, ou 1296 personnes. L’automatisation leur a fait perdre quelque chose…

Solution 4 : les experts

Ceux-là ont tout compris : prendre 81% c’est prendre 81 centièmes, donc je multiplie par 0,81 et zou. Ils concluent de façon explicite et en faisant figurer les unités de mesure. Ce sont les mêmes qui, pour calculer une augmentation ou une baisse en pourcentage, multiplient déjà par le coefficient multiplicateur. En quatrième ce n’est pas mal du tout.

Conclusion

Aucune de ces méthodes n’est moins efficace qu’une autre. Ce qui compte pour moi c’est que chacun et chacune de mes élèves trouve sa méthode, mais soit capable de réaliser les allers-retours contexte-modèle de façon fluide et sans peine. Et ce qui me plait, c’est que les élèves aient conscience des choix possibles.