Une collègue m’a demandé comment je procède pour faire travailler la proportionnalité en 6e, alors que les élèves n’ont pas forcément les savoirs nécessaires à disposition. C’est une bonne question, mais qui vaut en fait jusqu’en 3e : alors les fonctions linéaires seront étudiées et on pourra véritablement modéliser la proportionnalité. Avant cela, on bricole, on tourne autour du pot, on approche prudemment le concept, mais jamais on n’explicite réellement. Les sacro-saints tableaux de proportionnalité ne définissent pas la proportionnalité ; ils donnent des procédés exécutifs, mais pas de sens. Cela dit, comme nous n’aurons nos fonctions linéaires que bien plus tard, il faut faire avec et soigner l’approche didactique de ce concept absolument crucial qu’est la proportionnalité.

Période 1

Pendant la première période, je fais travailler les élèves sur différentes situations, courtes à traiter et éparpillées dans la programmation. C’est la période de rencontre avec le concept :

• La question de la boulangerie, pour réfléchir à “prix au kilo”, “prix à l’unité”, que souvent les élèves ignorent, et donc parler implicitement ou explicitement, selon les cas et les réactions de la classe, proportionnalité ;
• Nous remettons ça, plus tard dans la période, avec les tomates ;
• En fin de période, nous étudions le problème “A better world”, qui permet d’écrire un nombre sous différentes formes, mais aussi d’attaquer les pourcentages, ce qui forcément se réfère à notre thème ;
• Enfin, juste avant les vacances ou juste à la rentrée, nous étudions la vidéo de la Petite histoire de France, avec “trois tonneaux ça boit pas d’eau”, ce qui permet d’attaquer le concept lui-même, et d’entrer dans l’explicite pour tout le monde : un tavernier dose ses verres en fonction d’une comptine. Son épouse, ensuite, fait de même mais avec “trois tout petits tonneaux ça boit pas d’eau”, pour faire des économies. Leur fils s’interroge de toute façon sur la méthode utilisée, à laquelle il préfèrerait l’usage d’un verre doseur. Là, je cherche à mettre en évidence que la proportionnalité est une mise en relations entre des grandeurs à bien identifier : capacité-durée d’énonciation, ce n’est pas exact. Capacité-sens de la phrase, c’est faux. En plus on parle conflit de génération et sexisme : c’est vraiment une activité efficace.

Période 2

En deuxième période, nous continuons de tourner autour de la proportionnalité avec une insistance qui confine à l’entêtement. mais le but est d’entrer dans la modélisation :

• Les échelles, avec l’activité de Dieppe : pour construire le concept de la proportionnalité, c’est un peu comme pour construire le nombre, il faut entrer par la porte, les fenêtres et la cheminée ;
• La courbe de poids des chats : là, on entre par la chatière…
• Rebelote les pourcentages, avec cette fois un objectif de sens mais aussi un objectif exécutif : savoir calculer 50%, 25%, 10%, 1% sans effort, avoir fait le lien avec les proportions et donc les fractions, et savoir ensuite utiliser la linéarité additive et la linéarité multiplicative pour calculer n’importe quel pourcentage : 73%, c’est 7×10%+3×1%, ou bien 3×25%-2×1%, etc.
• Travailler les durées (avec les Dudu) permet d’aborder la proportionnalité sous en autre angle, avec la base 60 ;
• Le problème de Superman réactive la proportionnalité et l’interroge en lien avec les compétences scolaires.

Période 3

La proportionnalité occupe moins de place sur cette période, mais une des activités traitées est très importante car elle sera réinvestie lors de la période suivante :

Et puis on continue de réfléchir dans des contextes variés :

Période 4

Bim boum badaboum, on institutionnalise. Pour cela, nous traitons l’activité qui a été cette année observée par des chercheurs, car c’était en plus une activité de réflexion sur l’inclusion universelle. J’en parle ici

Mesurer le cercle nous ramène à la proportionnalité car π est le coefficient de proportionnalité entre le diamètre et le périmètre d’un cercle. Et puis nous pensons lave-vaisselle, aussi :

C’est la période qui nous voit poser notre trace d’institutionnalisation, dans le cahier de leçon : en principe à cette étape, nous nous sommes musclés.

Période 5

Maintenant que nous sommes des pros de la proportionnalité, nous la convoquons dans une multitude te tâches qui ont d’autres objectifs. Mais autant faire d’une pierre deux coups et ne pas mettre tous nos oeufs dans le même panier :

• Le problème Dudu des bracelets traite d’arithmétique mais est top pour parler proportionnalité et non proportionnalité ;
• Revoilà les pourcentages, avec plusieurs entrées ;
• Dans Kroa, les conversion se ramènent au thème ;
• Le chaperon traite des vitesses ;
• Des tas de petits problèmes agrémentent le quotidien de la classe avec de la propotionnalité dedans…

Conclusion

La proportionnalité est multiforme et doit donc être travaillée dans le sens de ses multi-représentations. Je pense d’ailleurs avoir oublié des activités que je raccroche aussi à ce thème. C’est l’avantage de spiraler et de ne jamais étudier une seule notion : je picore d’abord, puis je consolide et je verbalise, pour finalement modéliser et tester, re tester, re re re tester.

J’espère avoir répondu à la question qui m’était posée !