Le 48e congrès de la SBPMef s’ouvre aujourd’hui, avec plein plein de collègues présents, plus que par rapport aux années précédentes, me semble-t-il.  Nous sommes accueillis au Collège Saint Michel d’Etterbeek. Le directeur a commencé par citer Hugo Duminil-Copin pour souhaiter que davantage de jeunes (et de moins jeunes) ressentent le plaisir de faire des mathématiques.
Puis nous avons suivi la première intervention : une conférence de Jean Van Schaftingen, intitulée  Je veux le plus grand,  Formes optimales et mathématiques.

Le principe de symétrie de Pierre Curie

Selon Pierre Curie, lorsque certaines causes produisent certains effets, les éléments de symétrie des causes doivent se retrouver dans les effet produits. Pourtant dans la pratique c’est apparemment faux : quand des rails se déforment ou qu’une goutte tombe dans un liquide, il se produit des phénomènes dans un sens donné, alors qu’au départ on n’avait pas induit une direction. Quand on résout l’équation x^2-1=0, on parle symétrie : le problème est symétrique sous la réflexion qui à x associé -x. Mais les solutions 1 et -1 ne sont pas symétriques par rapport à cette réflexion. Il aurait fallu avoir 0 pour solution. Le contexte original de Curie était le calcul de solutions des équations de Maxwell en électromagnétisme. Ces équations ont une solution unique, ce qui modifie le contexte.

L’arbre de Steiner d’un carré

Petit problème : si ces quatre points sont des villes, comment fabriquer un réseau routier de plus petite longueur totale, contenant les quatre sommet du carré. Du plus long au plus court, on peut penser à ça :

Cette dernière solution (avec des contraintes d’angles mais mon dessin est fait à l’arrache) a 1+rac(3) comme longueur, ce qui est un petit peu mieux. La solution est moins symétrique que le problème. Il y a deux solutions, qui ont une symétrie partielle et une très jolie symétrie locale.

Evidemment, le modèle néglige des tas de contraintes concrètes.

Problème isopérimétrique

Le problème de Didon est : parmi toutes les figures géométriques de périmètre donné, laquelle a la plus grande ? En fait le problème n’a pas été posé ainsi historiquement. La solution est le cercle, ce qui n’est pas très pratique si on parle de terrains. Une question qui se pose déjà est : qu’est-ce qu’une figure géométrique ?  Sur les polygones, à périmètre et nombre de côté donnés, la polygone régulier est celui qui a la plus grande aire. Et à aire et nombre de côtés donnés, le polygone régulier a le plus petit périmètre.

La symétrisation de Steiner

Prolongements

Jean Van Schaftingen nous a parlé de la valeur propre de Dirlichet et de ses interprétations physiques, aux instruments de musique par exemple, ou bien à la question d’équilibre thermique avec par exemple la vitesse de refroidissement d’un gâteau. On peut se poser des questions concrètes : quelle forme un tambour doit-il avoir pour avoir un son le plus grave possible ? Quelle forme doit avoir ma crème glacée pour ne pas se réchauffer trop vite ? Pour la glace, la boule est ce qui permet de se réchauffer le plus lentement possible.

Pour terminer, Jean Van Schaftingen a exposé le problème de la résistance minimale : Newton n’est demandé quelle forme offrirait, pour un fluide, le moins de résistance à l’air. En 1687, Newton propose une solution avec une sorte de museau à bout plat et à bases circulaires, disons, ou bien un bout de rayon dont on a cassé la mine. C’est un candidat symétrique. En 1995, Guasoni trouve une meilleure forme, par simulation numérique : c’est une sorte d’embout de tournevis à bout plat. Aujourd’hui, on ne connait toujours pas la forme optimale, mais ce n’est ni l’une, ni l’autre.

Conclusion

On a des situations dans lesquelles on aimerait trouver de la symétrie, parce que la symétrie est simple et semble plus naturelle, voire plus belle. Quand on se dit que ça devrait être symétrique, on trouve une solution, qui est le meilleur candidat symétrique, et paf, finalement il existe un meilleur candidat non symétrique.