Galérons dans la division

Pour finir la journée, Michel Sébille anime l’atelier “Galérons dans la division”.

L’addition et la soustraction posées sont les mêmes partout et depuis longtemps, en gros : elles sont naturelles, vu le système de numération.

En revanche, il y a des tas de méthodes pour multiplier, qui ont existe très tôt pour certaines : le papyrus Rhind en expose une vers -1850 (mais c’est une copie d’un papyrus plus ancien), et il y a la multiplication “à la russe”, par jalousie, la crochetta, la multiplication “classique” pour nous.

Lz multiplication égyptienne revient à se référer au binaire : 23, en binaire, c’est 10111 :

La multiplication à la russe, j’en ai parlé dans cet article. C’est la même chose que la précédente, présentée différemment. Mais elle a été utilisée plus longtemps.

Dans la multiplication dite classique, le souci c’est la gestion des retenues. Fourier, et il n’était pas le seul, ne s’embarrassait pas des retenues :

Mais ça prend de la place… Je préférerais déjà que les 0 apparaissent, car sinon il y a de sérieux risques pour ne pas interpréter correctement les différents nombres-étapes.

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Et la crocetta ? C’est une technique dans laquelle il n’y a pas de retenue, mais qui demande d’être très vigilant aux rangs des chiffres écrits :

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Et la division, alors, y a-t-il des variantes ? Observons cette question des Olympiades mathématiques belges, catégorie mini, en 2014 :

En réfléchissant, on trouve deux cas :

Puis quatre :

Au Olympiades, un prix spécial est remis à la preuve la plus élégante. Le candidat qui l’a obtenu n’est pas passé par du calcul posé :

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Dans le style divisions à trous diabolique, en voici une dont la solution est unique :

Michel Sébille nous a montré la division “à la galère”. Par exemple, si on vaut calculer 123 456 : 412, voilà ce que cela va donner : on commence par observer que 412 est dans 1234 (mais pas dans 1, 12 ou 123), et ensuite on fait des soustractions successives. C’est comme “notre” division, mais présentée différemment :

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Il existe d’autres divisions, à la française ou à la portugaise, qui sont des variantes de la méthode ci-dessus.

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