L’année dernière, dans la classe de mon mari coordo Ulis, nous avions travaillé les aires et les périmètres, avec l’excellente activité “Plier des rectangles”. L’activité initiale a été créée par Jean-Luc SONNTAG et provient du site de l’IREM de la Réunion.

Le matériel à prévoir

• Des rectangles découpés, de 20cm sur 12cm, sur du papier blanc et sur papier à petits carreaux (la plupart des élèves à qui je m’adressais ne savaient pas calculer l’aire d’un rectangle et/ou ignoraient la multiplication : pour elles et eux, je voulais m’appuyer sur les petits carreaux pour dénombrer les cm²). Il est utile d’avoir plus de rectangles que d’élèves pour les accidents, les crises de je-vais-te-le-déchirer-cette-saleté-de-papier et pour les élèves qui ont des idées d’autres stratégies que la première qui leur est venue à l’esprit ;
• Des règles graduées ;
• Eventuellement, un document de synthèse à compléter ;
• Un affichage sur le rectangle, dans ce genre-là par exemple :

Etape 1 : un rectangle, c’est quoi donc ?

D’abord, il faut entrer dans l’activité et mettre tout le monde sur des bases communes et exactes : quelle est la forme de mes papiers ? Lorsque la proposition de rectangle émerge, on demande pourquoi, pour aboutir à la caractérisation suffisante : il a 4 angles droits. On peut aborder d’autres propriétés, ou pas. Si on s’y engage, il est préférable de ne pas oublier de parler des diagonales, souvent oubliées et pourtant fort utiles au collège.

Etape 2 : plions

Ensuite on donné la consigne :

Vous allez plier votre rectangle de papier, de façon à toujours former des rectangles superposables, trois fois de suite.

Si on a évoqué les diagonales du rectangles en étape 1, des élèves vont sans doute plier selon une diagonale. Il faudra rappeler qu’un rectangle est un quadrilatère.

Au final, on obtient plusieurs rectangles différents. Il s’agit d’expliquer pourquoi “tout le monde a bon”, bien que les résultats soient différents. Certain(e)s élèves peuvent être très gêné(e)s par cette idée : la peur de se tromper paralyse, et le fait qu’en maths il puisse y avoir plusieurs solutions dérange.

Etape 3 : comparons les derniers rectangles obtenus

Etape suivante : mesurer la longueur et la largeur du rectangle obtenu, à la règle. Pas facile, en fait ! Il faut en général plusieurs essais et des corrections méthodologiques sur le geste de mesurage ou la lecture de la longueur. On obtient quatre possibilités : 2,5 cm sur 12 cm, 6 cm sur 5 cm, 10 cm sur 3 cm et 20 cm sur 1,5 cm.

Etape 4 : les périmètres ?

Bon et alors, le périmètre de chaque type de rectangle obtenu ? Le périmètre, ça va : il est toujours simple à calculer pour un polygone. Mais avant tout, les périmètres vont-ils être différents, intuitivement ? Souvent les avis sont partagés : pour certain(e)s oui, à vue d’oeil “ça se voit”, pour d’autres non, “on est partis du même papier et on a tous fait la même chose”. Quatre valeurs émergent : 29cm, 22cm, 26cm et 43cm. Pendant qu’on y est, il est utile de repréciser qu’un périmètre est une longueur, et s’exprime donc en cm, par exemple.

Puisque des périmètres sont différents, profitons-en pour réactiver ou faire découvrir le symbole adapté, et la façon de le dire (“différent de”) :

Etape 5 : les aires ?

L’aire est la mesure de la surface. On peut passer par le dénombrement des carreaux unités, des cm², ou passer par la modélisation longueur x largeur. Pour les carreaux unité, on justifie : les carrés ont un côté de 1 cm, car le cm était mon unité de référence pour le périmètre. Cela permet d’introduire le “centimètre carré, avec sa notation. Les élèves trouvent 30 cm² pour tous les rectangles.

Que les aires soient les mêmes ne surprend pas les élèves outre mesure : “c’est normal, on a plié le même rectangle autant de fois !” Mais alors pourquoi les périmètres sont-ils différents ? “Parce qu’on n’a pas plié pareil. Autant de fois, mais pas pareil”, m’a répondu une élève.

Les périmètres différents nous ont permis de travailler le signe “différent de”, alors revenons sur le signe “égal”, pas si évident.

Etape 6 : synthétiser

Comment présenter les résultats ? On peut en discuter avec les élèves. Voici ce à quoi je les amène :

Comme dans l’activité Curvica, qui d’ailleurs s’associe très bien avec celle-si, avant ou après, selon les objectifs de l’enseignant, c’est l’occasion d’insister sur la relative indépendance du périmètre et de l’aire. Si les deux se rapportent à la forme du polygone, à ses dimensions, il s’agit de mesures de grandeurs vraiment différentes.

Etape facultative 1 : une petite étude statistique

Pendant qu’on y est, on peut interroger les élèves : en regardant l’arbre, quel périmètre est le plus probable ? Il y en a deux : 22 cm et 26 cm. On peut même partir faire une incursion dans les probabilités. Et dans la classe, a-t-on trois élèves sur huit qui ont un périmètre de 22 cm ? Dans la majorité des cas, 22cm est le grand vainqueur car on l’obtient avec des pliages plus intuitifs. On peut en profiter pour évoquer la sur-représentativité, la sous-représentativité, l’aléatoire.

Etape facultative 2 : L x l

Si cela est nécessaire, on peut profiter de l’occasion pour faire institutionnaliser la formule de l’aire. On peut passer par le nombre de cases d’un tableau à double entrée en fonction de son nombre de lignes et de colonnes, par exemple, et faire exprimer le lien opératoire possible.

Si multiplier par des décimaux est trop difficile, ce qui est a priori le cas, on passe aux mm et on développe des stratégies de calcul astucieux, en se référant aux résultats déjà trouvés au fur et à mesure.

Voilà une jolie séance qui permet de travailler beaucoup de notions, de vocabulaire, de symboles, de méthodes et de compétences. Elle est utilisable en classe ordinaire comme en enseignement adapté.