Je suis dans mes prep, depuis le début des vacances. Ça, le CAPPEI, le master et mon prochain bouquin. J’ai bien avancé, finalement, au prix de pas mal d’heures à mon bureau. J’ai rédigé 6 PPI (projets pédagogiques individuels), préparé les bilans de la deuxième période, mitonné les séances “C’est arrivé ce jour-là” et ma séquence maîtrise de la langue, bien écrit pour mon livre en cours, terminé un des travaux évalués pour le master, résumé les cours de législation et celui sur la MDPH… J’ai aussi terminé d’élaborer la première version d’une présentation que je ferai à Strasbourg en janvier, une autre sur les fractions et décimaux pour une association, en janvier aussi. Ah, la séquence astronomie de la troisième période est prête également.

J’ai encore une liste longue comme le bras, mais je suis confiante : ça va le faire et j’arrive à ne rien bâcler. C’est bien, ça. Je n’aime pas bâcler.

Mais en fait ce n’est pas de tout ceci que je voulais vous parler aujourd’hui. Je voulais vous parler de mathématiques, parce que j’ai préparé une séquence qui m’a donné du fil à retordre : mes élèves ne savent pas ce qui signifie la multiplication. Trois d’entre eux connaissent des éléments des petites tables, mais ne mettent pas de sens. Et pour les autres, rien de rien. Or en stage, ils ont besoin de recourir à la multiplication, et dans leur vie courante c’est également indispensable.

Ça a été une belle prise de chou, cette histoire de séquence d’introduction à la multiplication : je sais introduire la multiplication au CE1. Mais là, j’ai des élèves beaucoup plus vieux. Il faut que les amène à comprendre, à s’entraîner, à automatiser au final, en ne négligeant pas le sens mais sans non plus leur impulser une rythme d’enfant. Voilà exactement le type de problématique qui m’a amenée en ULIS : je devais inventer à partir de ce que je sais être efficace, mais différemment, en tenant compte du développement des élèves du dispositif, et de leurs très grands écarts de savoirs et de compétences. Pour vous donner une idée, la moitié des élèves du dispositif ULIS que je coordonne savent additionner et soustraire des relatifs, même de même signe. Mais la multiplication, ils et elles n’y ont pas accès.

Je ne peux pas mettre mes fiches sur le blog (sauf un petit bout incomplet pour illustrer mon propos, dans la séance 3), car je me suis servie d’un contenu édité, payant, que j’ai acquis. Je vais donc vous expliquer la progression et la programmation, mais sans déposer des contenus protégés par une propriété intellectuelle. Ces ouvrages sont ceux de la gamme Ma pochette de maths, édité chez Hachette :

Ma séquence s’articule en plusieurs séances (pas forcément d’une heure, parfois plus, parfois moins ; on verra, je m’adapterai) :

Une séance pour découvrir la multiplication :

• D’abord, je présente aux élèves des rectangles, au tableau, et je leur demande combien ces rectangles comportent de cases. Evidemment il y a des carrés, pour remettre un coup sur le fait d’un carré est un rectangle particulier. J’attends par exemple “sur le rectangle orange, il y a quatre fois cinq cases”, et on dénombre ou on calcule en développant diverses stratégies : deux lignes de 5 ça fait 10, donc ça fait 20, ou bien on compte de 2 en 2, etc. On explicite que c’est 5 + 5 + 5 + 5, soit 5 cases, et encore 5 cases, et encore 5 cases, et encore 5 cases. Ce “et encore”, c’est le “+”, qui représente l’addition. (objectifs : le sens du signe “+” et le lien entre la multiplication et l’addition itérée, qui ne suffira pas à modéliser mais qui est une porte d’entrée)
• Si les élèves sont observateurs ils repèrent qu’un autre rectangle a la même aire, le même nombre de cases, la même organisation sauf qu’il a subi une rotation. S’ils ne sont pas observateurs, je désigne, voire je rapproche les deux rectangles, et j’interroge : vous en pensez quoi, de ces deux-là ? En prime, nous réactivons les mots “ligne” et “colonne”. Et ainsi, 5 + 5 + 5 + 5 c’est aussi 4 + 4 + 4 + 4 + 4. Mais que signifie “c’est aussi” ? Mathématiquement, c’est “égal”, appliqué à des nombres : 5 + 5 + 5 + 5 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4. (objectifs : un sens du signe “=” et la préparation à la découverte de la commutativité)
• “5 fois 4 cases” et “4 fois 5 cases”, c’est pareil. Bien. Ce “nombre de fois” s’exprime mathématiquement par le symbole “x” : 5 x 4 = 4 x 5, 4 x 5 = 20, 5 x 4 = 20, 5 x 4 = 4 x 5 = 20. Et on s’entraîne sur nos rectangles au tableau, grâce aux ardoises. (objectif : le signe “x”)
• Tiens, 5 x 4 = 4 x 5… Ah oui, cela représente l’aire un rectangle, vu de deux points de vue différents… Mais c’est le même rectangle. Hé bien ça, cela s’appelle la commutativité. (objectif : modéliser la commutativité et poser le mot pour pouvoir s’y référer explicitement plus tard)
• On s’entraîne tout plein. (objectif : on consolide)
• Synthèse par un affichage que j’imagine du type ci-dessous, mais on verra en classe ce que veulent faire les élèves, puisqu’on le construira ensemble. Par exemple peut-être faudra-t-il numéroter les cases pour convaincre certains élèves qu’il y a bien égalité, je ne sais pas. (objectif : on institutionnalise)
• On s’entraîne tout plein encore, et on réactive dès qu’on se croise. (objectif : on commence à automatiser)

Une séance pour évaluer ce qui a été compris et retenu, et pour s’entrainer :

• D’abord, on réactive à partir de l’affichage : qu’avons-nous travaillé la dernière fois ?
• Exo 1 : écrire des additions itérées à partir d’expression du type 4 x 6
• Exo 2 : Ecrire la multiplication qui modélise une image avec des groupements d’objets. Par exemple, 5 lots de 3 crayons : 5 x 3
• Exo 3 : donner deux multiplications de deux entiers qui donnent le nombre de carrés de chocolat de tablettes différentes (mais rectangulaires)
• Exo 4 : compléter par commutativité des egalités du type 5 x 3 =
• Exo 5 : associer des représentations égales toutes en vrac, comme 5 + 5 + 5, 3 x 5, 3 + 3 + 3 + 3 + 3, 5 x 3, mais parmi tout un tas.

Une séance pour travailler la table de 2 :

• On réactive encore
• Exo 1 : compléter par “le double” ou “la moitié” des phrases comme “30 est ………… de 60”
• Exo 2 : calculer des doubles
• Exo 3 : écrire des multiplications (par 2) à partir d’images de groupements de 2 objets
• Exo 4 : associer des représentations en vrac, comme dans l’exo 5 de la séance précédente, sauf que là il y a aussi les résultats à associer
• Exo 5 : les nombres rectangles de la table de 2 sont représentés, et on complète la table.

• Et on en profite pour utiliser la commutativité et compléter un affichage réalisé en direct sur les tables : quand on connaît 2 x 8, on connaît 8 x 2.
• Et hop, un coup de number stick sur la table de 2 !

Une séance pour travailler la table de 4 :

• La table de 4 me donne l’occasion de travailler l’associativité de la multiplication, avec cet exercice 1 de ma fabrication, cette fois. Dedans, on réutilise la commutativité, aussi :

Ainsi, le quadruple d’un nombre est le double du double de ce nombre. Il ne s’agit pas de shunter l’apprentissage de la table de 4, mais de faire des liens.

• Exo 2 : associer des représentations en vrac, avec également (c’est le cas de le dire…) les résultats à associer
• Exo 3 : les nombres rectangles de la table de 4 sont représentés, et on complète la table
• Pouf : number stick

Des réactivations intermédiaires : le number stick sur les deux tables rencontrées, et aussi du Défi Tables de Christophe Auclair, car pour utiliser Défi Tables il suffit de sélectionner deux tables.

Une séance pour travailler la table de 5 (sur le modèle de la séance sur la table de 2), et des réactivations number stick et Défi Tables

Une séance pour travailler la table de 10 :

• Exo 1 : des calculs en reliant à ce que c’est qu’une dizaine et en verbalisant sans recours au fameux “et je rajoute un zéro”
• Exo 2 : valider ou invaliser des calculs proposer
• Exo 3 : compléter des calculs avec recours à la commutativité
• Exos 4 et 5 :

• Re-zou : number stick et Défi Tables

Une séance pour travailler la table de 3, comme celle sur la table de 5

Voilà, j’en suis là. Ensuite, nous devrions suivre le même mouvement pour la suite, mais en période 4 : la fin de la période 3 visera à consolider. A supposer que tout ceci ne boulotte déjà pas la période entière, ce qui ne serait pas grave du tout.