“Quand on a des moins en moins, ça fait comme un plus en plus”

Aujourd’hui, en cinquième, avant de participer au rallye Algorea sur la deuxième heure, nous avons commencé à travailler la différence de relatifs.

Petit historique de notre progression sur les relatifs au fil de l’année :

En octobre, nous avons abordé le repérage. Les nombres négatifs sont apparus tout simplement. Nous avons joué à un jeu de cartes (type bataille) qui amenait à comparer des nombres relatifs. C’était un peu une approche ordinale des relatifs. D’ailleurs nous avions parlé d'”étiquette”. Les élèves sont arrivés naturellement à l’idée de distance à zéro, sans que nous ne la formalisions outre mesure ;
En décembre, nous avons travaillé le sens du nombre relatif, avec pour entrée le calcul littéral. Les opérations à trou nous ont tranquillement amenés à concevoir le concept de nombre négatif. Tout cela s’est très bien passé ;
En février, nous avons modélisé l’addition de relatifs, en repartant de nos opérations à trou, et en abordant différentes activités qui ont permis d’associer des images mentales variées ;
En mars, nous avons travaillé les simplifications d’écritures (et je n’ai rien eu à faire : c’est venu tout seul, sans même que les élèves semblent avoir l’impression de découvrir quoi que ce soit), et ce même mois nous avons fait des défis-tablettes, qui les ont amenés à effectuer des centaines de calculs avec un beau sourire.
En avril, nous avons réactivé les priorités de calcul, mais cette fois avec des résultats qui pouvaient être négatifs.
Il y a quelques jours, nous avons commencé les séances par la corde à linge des relatifs, pour réactiver la somme.

Et voilà, nous sommes fin mai et il nous reste à découvrir la différence de relatifs.

Voici comment cette première heure s’est passée :

Nous avons recommencé avec la corde à linge des relatifs, avec le principe additif ;
J’ai annoncé le but de la séance : apprendre à soustraire des relatifs. Mes élèves ont semblé perplexes sur le sens même de cette idée : on pouvait donc appliquer la soustraction aux relatifs ? Cela ne leur semblait pas évident du tout.
J’ai présenté l’activité de mon excellent collègue Christophe Simon, que j’ai vue mise en oeuvre en classe par un jeune collègue que Christophe accompagne. J’avais été tout à fait convaincue, d’autant que si j’ai des outils pour faire vraiment comprendre l’addition de relatifs, je ne dispose pas de l’équivalent pour la différence, d’une façon qui me satisfasse définitivement.
Les élèves ont joué, en faisant une ou deux parties, selon les cas ;
Nous avons institutionnalisé ensemble, sans pour le moment y associer de trace écrite. La trace écrite, nous la construirons ensemble la fois prochaine, d’autant que certains élèves ont encore des questions à poser.

La description de l’activité de Christophe, maintenant :

Le jeu se joue à deux ; chaque partie se déroule en trois manches.

Chaque binôme dispose de vingt-quatre cartes, douze cartes portant un nombre positif entier au recto et la lettre P au verso, et douze cartes portant un nombre négatif entier au recto et la lettre N au verso. Avant chaque manche, toutes les cartes sont mélangées sur la table avec leurs valeurs cachées : ne sont visibles que les P et les N.

Au début de chaque manche, les joueurs tirent 6 cartes à tour de rôle : 3 cartes positives (cartes P), et trois cartes négatives (cartes N).

La somme totale des valeurs des cartes de chacun des joueurs est notée sur la feuille de score, dans des cases prévues à cet effet, ainsi que la somme de ces six nombres.

Ensuite, chaque joueur retire une carte P et une carte N du jeu de son adversaire, sans savoir quelle est la valeur du nombre figurant sur la carte. On note les nouveaux scores obtenus. La première manche est terminée.

La deuxième manche suit le même déroulé que la première.

Enfin, la troisième manche diffère de façon très importante : les valeurs des cartes doivent être visibles lorsqu’un élève ôte deux cartes du jeu de son camarade. Il choisit quelles cartes il enlève.

Pour chaque manche, chaque joueur a donc noté 2 scores. Comme il y a 3 manches, chaque joueur a donc noté 6 scores sur la feuille.

Le vainqueur est celui dont la somme des six scores obtenus est la plus élevée.

Analyse de ma mise en oeuvre de l’activité, et de l’activité mathématique des élèves :

Pour ma part, j’ai eu un peu de mal à expliquer la règle, comme à chaque fois que je m’empare d’une activité que je n’ai pas conçue. Mais les élèves ont compris, n’ont pas eu de mauvaise interprétation, et tous sont allés au bout comme il faut. Cette activité, et les documents que Christophe m’avait donnés, sont efficaces, clairs et bien ficelés, et du coup, le tout est fluide. Les élèves ont rempli les supports prévus comme je le souhaitais, sans confusion ;
les élèves ont fait leur première manche le nez sur la consigne, en suivant de façon procédurale mes consignes. Mais dès la deuxième manche, ils avaient pris du recul et espéraient que leur camarade ait ou n’ait pas éliminé telle ou telle carte, positive comme négative ;
pour la troisième manche, les stratégies étaient bien affirmées, et seuls deux élèves ont raisonné de façon erronée, en cherchant à enlever la carte négative la plus petite ;
La deuxième partie s’est faite, pour ceux qui en ont eu le temps, dans une ambiance beaucoup plus focalisée : ils savaient où ils allaient, à ce moment-là ;
Les élèves étaient vraiment au point quant à la somme de relatifs. Ils ont ré-évoqué aussi la distance à zéro, les nombres opposés, de façon pertinente et sans difficulté ;
Les élèves ont adoré cette activité. Ils se sont bien amusés, auraient volontiers continué (mais je voulais absolument institutionnaliser avant la fin de l’heure). Ca a été un peu délicat de les arrêter.
Nous avons pu facilement évoquer “soustraire”, “enlever”,”ôter”, “retirer”, en donnant du sens à tout ce vocabulaire ;
L’institutionnalisation a permis à une bonne moitié des élèves, à mon avis, de comprendre. J’ai vu la lumière s’allumer au fur et à mesure des exemples et des explications. Trois élèves ne sont pas convaincus et ont besoin que nous ré-explicitions, ce que nous ferons lors de la prochaine séance en prenant le temps de lever toutes les zones d’ombre et de mettre en lumière tous les doutes.

Je suis donc bien convaincue par cette activité. J’attends la fois prochaine et l’évaluation ensuite pour mesurer les effets observables, mais enfin j’ai un support qui donne du sens sans s’appuyer sur des contextualisations pseudo-concrètes et mal en phase avec ce que nous voulons en fait transmettre, qui est bien abstrait et assumé comme tel.

Merci mille et une fois à Christophe, pour son partage d’activité, et aussi pour avoir accepté que j’en parle sur ce blog.

Merci aussi à Constantin, pendant que j’y suis, venu assister à mes cours ce matin, et dont la présence a été vraiment agréable.