Diviser des fractions

La problématique

Céline Valette a vu passer ce tweet la semaine dernière et me l’a signalé :

Céline s’est demandé par quelle démarche utiliser cette illustration. Alors penchons-nous un moment sur la division de fractions.

La règle procédurale, c’est :

Pour diviser une fraction par une autre (non nulle), on multiplie la première fraction par l’inverse de la deuxième.

Ok, mais c’est quoi l’inverse ? On entend souvent que l’inverse d’une fraction, c’est quand on “met le nombre du haut en bas et réciproquement”. Mais c’est une façon de formuler les choses peu rigoureuse, et surtout c’est une conséquence, pas une définition.

Deux nombres a et b sont inverses l’un de l’autre si leur produit vaut 1.

Bon c’est vrai que ce n’est pas super explicite, tout ça. Et surtout, pourquoi cette règle de division ?

La division comme soustraction itérée

Etudions d’abord la représentation proposée. On cherche à diviser 2/3 par 1/6. Diviser, on peut le voir comme chercher le nombre de fois que le nombre 1/6 est contenu dans 2/3. Une division peut donc se résoudre comme une soustraction itérée : combien de fois puis-je ôter 1/6 de 2/3 sans m’engager dans les négatifs ? L’exemple choisi ici se prête bien à la représentation : 4/6 est une écriture de 2/3, et je vois que dans 4/6 il y a 4 fois 1/6. 2/3-1/6-1/6-1/6-1/6=0 ; le quotient vaut 4. C’est très bien comme entrée en matière, pour amener intuitivement une méthode, pour rappeler ce qu’est la division. Mais cela ne donne pas une règle générale et elle a ses limites.

Diviser deux fractions sans se référer directement à “la” règle

Décidons de diviser 2/7 par 3/11. Hé oui, je tape volontairement dans des nombres désagréables pour appuyer mon propos. Là, comme ça, combien de fois y a-t-il 3/11 dans 2/7, bof. Mais je peux écrire les deux fractions au même dénominateur :

Ah ça va mieux. Il y a une fois 21/77 dans 22/77, avec un reste non nul. Ca donne une idée, et même plus : si ma référence est 1/77, soit un soixante-dix-septième, le résultat donne 22/21, ce qui est juste une reformulation du fait qu’on divise 22 unités de référence par 21 unité de référence.

Et si on s’intéresse à 2/7 divisé par 11/3 ? On sait que le résultat sera inférieur à 1, proche de 0, car on divise un nombre inférieur à 1 par un nombre supérieur à 1. Et :

On peut donc se débrouiller sans la règle “scolaire” de multiplication par l’inverse, en donnant du sens une fois les deux fractions écrites au même dénominateur.

Approchons la règle

Revenons à l’exemple du tweet :

Changeons de point de vue pour entrer dans ce calcul. Dans une unité, il y a 6 fois 1/6. Ainsi, chercher combien de fois on a 1/6 dans 2/3, cela revient à multiplier 2/3 par 6. En effet, puisque dans une unité, il y a 6 fois 1/6, dans 2/3 d’une unité il y a 2/3 x 6 fois 1/6, donc :

On voit ici qu’on a naturellement multiplié par l’inverse de la fraction qui occupe le rôle de diviseur dans la division.

Ah bin ça y est !

Nous avons tout ce qu’il nous faut : divisons par exemple 5/7 par 2/11. Si nous divisions par 1/11, cela donnerait ceci, puisqu’une unité est divisée en 11 fois 1/11 :

Alors si on veut diviser par 2/11, au lieu de dénombrer tous les onzièmes, il faut dénombrer tous les couples de onzièmes, donc “compter de deux en deux”, et il y en aura fatalement deux fois moins, donc la moitié :

Pourquoi passe-t-on à 55/14 ? parce que la moitié d’un septième, c’est un quatorzième. On a pris un demi de 55/7, on a divisé 55/7 par 2, et donc :

Voilà. Diviser par une fraction (non nulle), c’est multiplier par son inverse.

Conclusion

Céline, tu me diras, mais en fait c’est vraiment complexe, parce que nous avons traversé des tas de concepts qui nécessitent d’être profondément compris. Or les élèves savent souvent faire sans avoir compris : c’est la différence entre avoir conceptualisé et appliquer une règle…

Ca mériterait une vidéo. Mais ma caméra est au collège.