Aujourd’hui, en quatrième, en demi-classe, j’aurais dû traiter du ratio. Mais nous sommes allés plus vite que prévu, et je me suis retrouvée dans les pourcentages de façon précoce. Alors j’ai réfléchi à un changement de cap, car proportionnalité par les pourcentages le matin, dans une semaine où nous avons découvert et expliqué le produit en croix, et ratio l’après-midi, cela me semblait un chouillat over kill.

Le souci, c’est qu’avec la tête bien coincée dans le guidon, je me suis aperçue de ce défaut de programmation ce matin. “Flûte”, me suis-je dit, “comment donc me sortir de ce facheux pas ?” (parce que quand je me parle, je soigne mon langage, figurez-vous)

Heureusement, ma clef USB était là, avec son répertoire “+ (sans repro)”, à dégoupiller quand la situation est critique, qu’il me reste un peu de temps dans une séance, ou que je change d’envie, mais que je n’ai pas le temps d’aller jusqu’à la photocopieuse. Et dedans, il y avait une activité marquée “après les probas, réactivation de l’inégalité triangulaire”. En l’ouvrant, je me suis souvenu : cette activité m’a été proposée par un collègue (Richard, est-ce ton oeuvre ?) et elle est top.

Alors donc, allons-y. L’inégalité triangulaire est au programme de cinquième, mais avec-le-confinement-on-ne-sait-pas-ce-que-les-élèves-ont-vu-et-pas-vu, et de l’inégalité triangulaire arôme proba avec expérience à deux étapes, ça ne se refuse pas. Nous avons ajouté un peu de coulis de Pythagore et des pépites de types de raisonnements. Miam.

Cette activité est simple à déployer :

Je vous confie à chacun deux dés. Vous allez les lancer, et le couple de nombres obtenus déterminera la longueur de deux côtés d’un triangle, qui aura toujours pour troisième longueur 7cm.

Première question : le triplet de nombres obtenus permet-il de construire un triangle ?

Deuxième question : dégagez une règle générale et proposez une rédaction de cette règle.

Tout est allé très très vite : en vraiment peu de temps, les élèves avaient accompli la tâche et plusieurs n’en pouvaient plus de vouloir me donner l’inégalité triangulaire. Certains se souvenaient même du nom “inégalité triangulaire”.

Nous avons discuté de la règle : un côté doit toujours avoir une longueur inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés, d’accord, mais doit-on vérifier pour les trois côtés ? Pourquoi cela suffit-il pour le plus long ? Et que faire du cas d’égalité, par exemple avec le triplet (7 ; 6 ; 1) ou (4 ; 3 ; 7) ? Peut-on parler de triangle alors ? A quel moment sait-on qu’on parle d’un triangle aplati ou d’un segment ? Facile : la notation est univoque. Bref, c’était très chouette. Nous avons écrit la leçon correspondante.

Mais du coup nous étions en avance, encore. Il nous restait la partie probabilités, mais je devinais que ça aussi, ça irait vite. Alors nous avons fait un détour par Pythagore :

Vous m’avez dit que le triangle obtenu peut être isocèle, si vous faites un double. Ok. Vous m’avez dit qu’il ne peut pas être équilatéral parce qu’on ne peut pas obtenir trois 7 et que comme un 7 est fixe, c’est impossible. Ok. Mais peut-on obtenir un triangle rectangle ?

Il a fallu réfléchir, cette fois. C’est ensemble, en décomposant le problème que les élèves ont avancé :

• Evidemment que c’est possible.
• Non, c’est pas possible, jamais.
• Non, ça dépend, en fait.
• Il faut appliquer l’égalité de Pythagore avec 7 au carré égal truc au carré plus truc au carré.
• Oui, mais comment on va savoir, il en manque deux, des nombres.
• Oh, ça doit marcher, je suis sûr !
• On pourrait essayer avec 1, déjà. Si on a un côté à 1, au carré c’est toujours 1, et pour aller à 49 faut ajouter 48.
• Oui bah donc c’est possible, il y a une solution par face du dé !
• Bin non, comment tu fais 48 en mettant une face au carré ?
• Il faudrait un nombre comme 4, 9, 16, tout ça.
• Avec 3-4-5, ça marche.
• On a 7 qui est fixe, banane !
• Ah oui zut.
• Donc c’est bien ce que je disais, c’est pas possible.
• C’est pas possible pour 1, mais faut essayer les autres.
• Tous ???
• Y en a 6, c’est pas la mort non plus…

Et hop, essai les nombres entiers de 1 à 6. En effet, cela ne marche pas. Le triangle ne peut pas être rectangle.

Pour finir, nouvelle question :

Quelle est la probabilité, en gardant cette consigne précisément, d’obtenir un triangle constructible ?

Finalement, c’est sur ce point que les élèves ont le plus été en difficulté. Pourtant, nous avions bien travaillé sur un problème similaire. Et nous avons aussi traité cet exercice en évaluation, assez bien réussi :

Mais pourtant, les élèves sont partis sur des 7/12, voire d’autres idées plus ou moins farfelues. Et puis un a pensé qu’il fallait compter parmi 36 cas, qu’un tableau serait utile, et c’était parti. N’empêche, je dois développer ce type de situation au fil de l’année.

C’était du bon boulot, en tout cas, de la part des élèves.