Beaucoup de maths parce que c'est beau, mais plein d'autres choses pour tout enseigner à toutes et tous !
Voici la présentation des problèmes par l’image, que j’ai commentée cet après-midi dans une intervention organisée par Bordas.
Je remercie toutes celles et tous ceux qui ont eu la gentillesse de m’écouter et d’interagir avec moi. Si vous avez des questions, n’hésitez surtout pas !
Merci encore aux collègues présents au Mercredi de l’APMEP aujourd’hui, pour la présentation de Code en bois. Merci aussi à Agnès et Sophie, les anges gardiennes des mercredis, entre autres…
Pour prolonger notre réflexion commune, voici :
Voici, ci-dessous, d’autres documents : le matériel pour représenter et manipuler autrement, sa version Angry Birds, la fiche de séance 2 avec le matériel, la fiche de séance 3 avec le matériel.
Et enfin, le diapo que vous avez (ou pas) vu aujourd’hui.
Si j’ai oublié des choses, n’hésitez pas à m’écrire !
Un de mes projets de l’année, avec les élèves du dispositif ULIS, c’est la proportionnalité. Hé oui, on ne change pas ses fixettes aussi aisément… Les élèves de l’ULIS sont censés atteindre le niveau cycle 3 en fin de collège, mais rien n’empêche d’aller plus loin. Comme la proportionnalité aide à comprendre des tas de choses dans à peu près dans tous les domaines professionnels qui les intéressent et aussi dans la vie courante, cela me semblait important. Les chercheurs en didactique qui nous suivaient l’année dernière en 6ème ordinaire sont toujours là, intéressés pour poursuivre en ULIS. Alors zou, on y va.
L’année dernière, l’expérimentation a donné ceci. J’ai dû changer ma séquence a priori, déjà. J’en ai parlé ici. Mais cela ne donne pas ce à quoi je m’attendais : l’exercice est très, très difficile pour mes élèves. Comprendre le modèle de la proportionnalité est extrêmement difficile, mais réussir à poser une question aussi.Sur la photo ci-dessous, les “questions” des élèves ont été reformulées : au départ, ils et elles avaient proposé “Si j’achète 1kg 26,50€” pour la première et “J’achète 4 fromages” poyur la dernière. Pourtant, je leur avais proposé des modèles, écrits à droite du tableau, et nous nous étions entraînés ensemble avant sur d’autres exemples.
Je ne sais pas du tout ce que va donner l’observation de mes collègues. Je ne suis même pas sûre de pouvoir la mener comme prévu : je devrai peut-être encore adapter davantage. Mais je ne baisserai pas les bras : je sais que les élèves avec lesquel(le)s je travaille sont capable d’y arriver. Un des enjeux de la proportionnalité en tant qu’enseignement, c’est justement la modélisation et les aller-retours entre le contexte et le modèle. C’est vraiment très important. En plus, j’ajoute là la production d’écrits, que mes élèves craignent et/ou n’aime pas du tout. Avec de la prise d’initiatives, qui expose et leur donne l’impression de prendre un risque. En y repensant, c’est ambitieux. Mais adapté, je crois.
J’ai pensé demander à mes collègues chercheurs de reporter leur visite pour avoir plus de temps, mais après je pars en formation. Et puis ce sera passionnant d’analyser ce qui ne fonctionne pas (encore).
Certain(e)s d’entre vous m’ont demandé comment s’inscrire à l’intervention sur les Problèmes par l’iage, dont j’ai parlé ici. Voici le lien qui mène à l’inscription : c’est ici. A bientôt !
Mercredi prochain, le 15 novembre, j’anime deux interventions en visio, ouverte à tous et toutes :
Une présentation des Problèmes par l’image, outil de résolution de problèmes et surtout de chasse à l’implicite, en apprenant aux élèves à le détecter, l’analyser et le surmonter, en se centrant sur le cycle 3 :
Un mercredi de l’APMEP sur Code en bois à l’école :
Vous venez ? Je serai ravie de vous voir, même de loin, et d’échanger avec vous !
Aujourd’hui, Laura, AED en prépro dans le dispositif ULIS dont je suis coordinatrice, a introduit les fractions, lors d’une première séance qui s’intègre dans toute une séquence qu’elle a prévue, qui mènera aux décimaux (dans longtemps). Je n’ai pas fini de tout analyser, car c’était très riche et les élèves ont vraiment bien travaillé. C’est à la mesure de l’investissement de Laura, d’ailleurs. Mais une remarque m’a frappée, fort.
Alors que la séance était bien avancée, Laura montre une représentation (en rectangle, en disque ou sur un objet du quotidien, je ne sais plus) d’un tiers.
Ca représente quelle fraction, ça ?
Tiers
Des tiers.
Des tiers ?
Bah ouais, un tiers quoi.
Et je l’écris comment, un tiers, ou un troisième ?
3 ?
C’est une fraction… Comment s’écrit une fraction ?
…
Et l’expérience s’est renouvelée : le partage qui se nomme “un tiers”, “trois quarts”, ok. Même “deux cinquièmes”, “quatre sixièmes”, pas de souci. Mais passer à l’écriture a/b où a et b sont des entiers (b non nul, je ne peux pas m’empêcher de le préciser), non. Là, ça bloque. La fraction existe dans son aspect haptique, avec une déclinaison verbale. Mais passer à 1/3, 3/4, non. Que le lexique soit irrégulier (demi, tiers, quart) ou pas ne change rien. Les élèves bloquent sur la barre de fraction qu’ils ne savent pas “dire” (alors que Laura leur a expliqué, mais le chemin est encore long), et ces deux nombres l’un au-dessous de l’autre ne prennent pas de sens.
C’était aussi impressionnant que passionnant.
Vivement la suite !
Suite à mon article de ce matin, j’ai reçu des demandes pour transmettre les fichiers. Super, je suis ravie qu’on partage !!! Et aussi d’avoir vos retours…
Alors donc, voici les fichiers pour la séance, en format modifiable et en pdf :
Pendant que j’y suis, voici les images sur la base desquelles nous nous entrainerons, pendant au moins deux séances avant de mettre en route la séance décrite ci-dessus :
Et voilà !
Dans l’académie de Normandie, nous travaillons à un projet maths et besoins particuliers. C’est un projet piloté par une de nos inspectrices, auquel sont associés une IEN, des chercheuses et des chercheurs, des enseignantes et des enseignants de différents cycles. Le lycée pro n’a pas été oublié. C’est très, très intéressant.
Je participe depuis l’année dernière à ce projet. Nous travaillons en binômes : nous expérimentons en classe un projet que nous avons monté ensemble, et nous allons nous voir dans les classes les uns des autres. les chercheurs filment et analysent avec nous. Nous réfléchissons à comment améliorer le truc, et tout. l’objectif est de mettre au point des outils qui vont dans le sens de l’inclusion universelle, tout en mettant lkes élèves en activité mathématique, avec ambition.
L’année dernière, ma super collègue Emilie et moi avons travaillé sur la proportionnalité. L’expérience a été passionnante. Mais cette année, Emilie est retournée à sa bretonnitude, et je suis en ULIS. J’ai donc tout repris pour adapter, et en fait les adaptations sont importantes. Ce qui est intéressant, c’est que si je retournais en milieu dit ordinaire, je conserverais ces adaptations. Elles ne sont pas destinées spécifiquement à un public ULIS. Sans doute la seule chose que je referais différemment est afférent aux contenus : les vignettes seraient plus variées en nature et en niveau. Là, le faible accès à la multiplication et aux nombres décimaux des élèves du dispositif m’amènent à aménager les contenus. En même temps, mon objectif est la proportionnalité, pas la numération ou le calcul. Ce n’est donc pas gênant.
Avant tout, je précise qu’un travail préalable est mené, avant la séance observée, avec les élèves : à partir de situations nous réfléchissons, parlons et débattons sur la proportionnalité.
Le plan de séance de la séance observée, le voici version 2022 en ordinaire à gauche, version 2023 en ULIS à droite :
Pendant la séance, les élèves ont un affichage projeté au tableau. L’année dernière, c’était celui-ci :
Cette année, il sera projeté sous la forme d’un diaporama, dynamique au fil du temps :
Les cartes ont également évolué. Ce sont des situations à partir desquelles les élèves doivent inventer des problèmes, identifier si leur problème se réfère ou pas à une situation de proportionnalité, et construire leur solution. Voici la version de l’année dernière :
Et celles de cette année :
Le document d’analyse a évolué aussi. L’année dernière, il était présenté ainsi :
Cette année, le voici, et ce sera un A3 au lieu de deux A4 :
Nous allons donc voir comment tout cela fonctionne cette année avec ce nouveau public. J’aimerais bien que mon mari essaie aussi, dans son ULIS. Je vais lui présenter tout cela cet après-midi.
L’année dernière, dans la classe de mon mari coordo Ulis, nous avions travaillé les aires et les périmètres, avec l’excellente activité “Plier des rectangles”. L’activité initiale a été créée par Jean-Luc SONNTAG et provient du site de l’IREM de la Réunion.
Le matériel à prévoir
Etape 1 : un rectangle, c’est quoi donc ?
D’abord, il faut entrer dans l’activité et mettre tout le monde sur des bases communes et exactes : quelle est la forme de mes papiers ? Lorsque la proposition de rectangle émerge, on demande pourquoi, pour aboutir à la caractérisation suffisante : il a 4 angles droits. On peut aborder d’autres propriétés, ou pas. Si on s’y engage, il est préférable de ne pas oublier de parler des diagonales, souvent oubliées et pourtant fort utiles au collège.
Etape 2 : plions
Ensuite on donné la consigne :
Vous allez plier votre rectangle de papier, de façon à toujours former des rectangles superposables, trois fois de suite.
Si on a évoqué les diagonales du rectangles en étape 1, des élèves vont sans doute plier selon une diagonale. Il faudra rappeler qu’un rectangle est un quadrilatère.
Au final, on obtient plusieurs rectangles différents. Il s’agit d’expliquer pourquoi “tout le monde a bon”, bien que les résultats soient différents. Certain(e)s élèves peuvent être très gêné(e)s par cette idée : la peur de se tromper paralyse, et le fait qu’en maths il puisse y avoir plusieurs solutions dérange.
Etape 3 : comparons les derniers rectangles obtenus
Etape suivante : mesurer la longueur et la largeur du rectangle obtenu, à la règle. Pas facile, en fait ! Il faut en général plusieurs essais et des corrections méthodologiques sur le geste de mesurage ou la lecture de la longueur. On obtient quatre possibilités : 2,5 cm sur 12 cm, 6 cm sur 5 cm, 10 cm sur 3 cm et 20 cm sur 1,5 cm.
Etape 4 : les périmètres ?
Bon et alors, le périmètre de chaque type de rectangle obtenu ? Le périmètre, ça va : il est toujours simple à calculer pour un polygone. Mais avant tout, les périmètres vont-ils être différents, intuitivement ? Souvent les avis sont partagés : pour certain(e)s oui, à vue d’oeil “ça se voit”, pour d’autres non, “on est partis du même papier et on a tous fait la même chose”. Quatre valeurs émergent : 29cm, 22cm, 26cm et 43cm. Pendant qu’on y est, il est utile de repréciser qu’un périmètre est une longueur, et s’exprime donc en cm, par exemple.
Puisque des périmètres sont différents, profitons-en pour réactiver ou faire découvrir le symbole adapté, et la façon de le dire (“différent de”) :
Etape 5 : les aires ?
L’aire est la mesure de la surface. On peut passer par le dénombrement des carreaux unités, des cm2, ou passer par la modélisation longueur x largeur. Pour les carreaux unité, on justifie : les carrés ont un côté de 1 cm, car le cm était mon unité de référence pour le périmètre. Cela permet d’introduire le “centimètre carré, avec sa notation. Les élèves trouvent 30 cm2 pour tous les rectangles.
Que les aires soient les mêmes ne surprend pas les élèves outre mesure : “c’est normal, on a plié le même rectangle autant de fois !” Mais alors pourquoi les périmètres sont-ils différents ? “Parce qu’on n’a pas plié pareil. Autant de fois, mais pas pareil”, m’a répondu une élève.
Les périmètres différents nous ont permis de travailler le signe “différent de”, alors revenons sur le signe “égal”, pas si évident.
Etape 6 : synthétiser
Comment présenter les résultats ? On peut en discuter avec les élèves. Voici ce à quoi je les amène :
Comme dans l’activité Curvica, qui d’ailleurs s’associe très bien avec celle-si, avant ou après, selon les objectifs de l’enseignant, c’est l’occasion d’insister sur la relative indépendance du périmètre et de l’aire. Si les deux se rapportent à la forme du polygone, à ses dimensions, il s’agit de mesures de grandeurs vraiment différentes.
Etape facultative 1 : une petite étude statistique
Pendant qu’on y est, on peut interroger les élèves : en regardant l’arbre, quel périmètre est le plus probable ? Il y en a deux : 22 cm et 26 cm. On peut même partir faire une incursion dans les probabilités. Et dans la classe, a-t-on trois élèves sur huit qui ont un périmètre de 22 cm ? Dans la majorité des cas, 22cm est le grand vainqueur car on l’obtient avec des pliages plus intuitifs. On peut en profiter pour évoquer la sur-représentativité, la sous-représentativité, l’aléatoire.
Etape facultative 2 : L x l
Si cela est nécessaire, on peut profiter de l’occasion pour faire institutionnaliser la formule de l’aire. On peut passer par le nombre de cases d’un tableau à double entrée en fonction de son nombre de lignes et de colonnes, par exemple, et faire exprimer le lien opératoire possible.
Si multiplier par des décimaux est trop difficile, ce qui est a priori le cas, on passe aux mm et on développe des stratégies de calcul astucieux, en se référant aux résultats déjà trouvés au fur et à mesure.
Voilà une jolie séance qui permet de travailler beaucoup de notions, de vocabulaire, de symboles, de méthodes et de compétences. Elle est utilisable en classe ordinaire comme en enseignement adapté.
Mercredi 15 novembre de 15h00 à 16h00, je présenterai une petite intervention à distance autour de la publication des Problèmes par l’image, publiés chez Bordas. J’évoquerai mon ressenti sur différentes questions, comme pourquoi faire des maths, pourquoi les enseigner, pourquoi des problèmes, avant de présenter l’outil Les problèmes par l’image, avec au coeur ma question fétiche du moment : comment donner des outils pour décoder l’implicite, de sorte que chacune et chacun ait les mêmes chances pour comprendre et résoudre les tâches, scolaires ou non.
C’est un outil CM1-CM2, mais applicable aussi pour des plus grand. Pour feuilleter le CM1 c’est là et pour feuilleter le CM2 c’est ici.
Pour s’inscrire, c’est ici. Vous venez causer ? Je serai ravie d’échanger avec vous !
Un article du Monde en date du 2 octobre 2023 revient sur la note d’alerte du conseil scientifique qui s’inquiète du niveau en mathématiques des élèves de sixième. Comme j’y apparais, voici quelques précisions pour compléter ce qui est rapporté de mon propos. Sylvie Lecherbonnier, l’auteure, ne l’a pas trahi du tout, mais forcément il est très très raccourci, c’est le jeu. Alors je développe un peu ici.
D’une part, comme le dit Charles Torossian : « Les difficultés autour de ces deux notions ne résument pas les connaissances en mathématiques des élèves à la fin du primaire. » Je suis bien d’accord. En outre dans ces évaluations il y a aussi l’influence de la lecture. Un de nos gros soucis est actuellement la difficulté qu’ont beaucoup d’élèves à décoder et comprendre l’écrit : pour pouvoir faire des mathématiques, comprendre l’écrit est souvent indispensable. Ensuite, comme le revendique Claire Piolti-Lamorthe, présidente de l’APMEP, le rôle de la formation est essentiel, et justement la formation continue en prend un coup dans les chaussettes, en cette rentrée.
Mais surtout, que “22 % des élèves placent correctement la fraction ½ sur une ligne graduée de 0 à 5” est normal au vu des programmes. Je ne pense pas qu’à ce stade on puisse déduire de ce seul indicateurs qu’« A l’entrée en 6e, la plupart des élèves ignorent le sens des fractions les plus simples ». Ils savent ce qu’on leur a appris. Voici un extrait des repères de progressivité du cycle 3, sur les fractions :
Comme on le lit ici, jusqu’au début de la 6e les fractions sont considérées dans le cadre du partage de grandeurs. Rien de surprenant donc à ce que les élèves se trompent à cette question :
Celles et ceux qui répondent 2,5 font directement appel au partage, et les autres répondent avec les moyens du bord, parce que tout simplement elles et ils ne savent pas. De même, comme je l’ai déjà écrit ici, le statut de la virgule, comme celui de la barre de fraction, sont complexes, alors que jusqu’ici les élèves n’écrivaient les nombres qu’avec des chiffres, sans autre symbole.
Ce n’est qu’en période 3 de la classe de 6e que la fraction acquiert vraiment son statut de nombre. Et cela ne peut pas être immédiat ; la preuve d’ailleurs est que beaucoup d’adultes répondent 2,5 à la question ci-dessus. Ce n’est pas parce qu’ils sont incultes et idiots. C’est parce que c’est authentiquement difficile ! Jusqu’à la moitié de l’année de sixième (au mieux) la fraction est vue comme une proportion de quelque chose. C’est tout de même hyper compliqué de devoir transformer si vite sa compréhension d’une notion relativement nouvelle. C’est pourquoi je pense que la fraction pourrait être vue longtemps avant, sous l’angle du partage, pour déjà développer le lexique, accoutumer aux mots et aux représentations. En 6e, on pourrait peut-être plus facilement passer à la fraction nombre.
Mais attention : je ne remets pas en cause le fait qu’il y a un problème dans l’acquisition des savoirs et des compétences en mathématiques. Cela fait même un gros bout de temps que nous alertons, avec l’APMEP. Ce que je voudrais voir davantage discuté, ce sont les indices, les indicateurs, la nature des preuves. Car il ne s’agit pas de défendre le point de vue d’untel ou d’unetelle pour ensuite imposer sa méthode ou sa doctrine. Il s’agit de faire progresser une société.
Et voilà, le premier épisode de la série Les mathématiques de la chaussette est en ligne aujourd’hui ! Carl est décidément aussi touchant que matheux…
Dans cet épisode, pour débuter doucement, nous nous penchons sur ce qu’est un cercle.
