Voici une nouvelle vidéo de l’Ile logique, sur les nombres premiers, qui ne sont capables que de se mettre “en ligne” (à dire l’air blasé et le ton dédaigneux). Hé oui, ce ne sont pas des nombres-rectangles. Mais moi, je les aime bien aussi pour ça : je les trouve simples, minimalistes.
J’aime bien ces vidéos… Ce qui me parle, c’est la façon dont les deux comédiens donnent de la chair aux notions qu’ils abordent : je les vois, les nombres. Les les vois s’organiser en unités, se reformer, grossir ou maigrir. C’est fort.
Une fort jolie question est arrivée sur Twitter aujourd’hui. Les copains ont déjà répondu, et fort bien, mais elle m’a gratouillé le cerveau et j’avais envie de participer à l’effort collectif. Mais le peu de caractères disponibles sur Twitter ne m’est pas suffisant : je suis pipelette. Voilà question de Michel :
Une anecdote d'une classe d'un stagiaire M2 : l'enseignant écrit et explique que 36/10 c'est 3+6/10 Pour 12/7, un élève écrit donc 1+2/7… L'occasion de parler de théorèmes en acte et de ces règles que les élèves se fabriquent et croient mordicus vraies. Comment leur dire ?
J’ignore le niveau de la classe concernée. Je vais partir sur 6e, parce que c’est le genre de question que pourraient avoir à résoudre mes élèves de 6e.
J’imagine un contexte, qui peut-être n’est pas adapté : je suppose que l’objectif de l’enseignant est de faire écrire des fractions à l’égyptienne, ou à la britannique, ou à à peu près partout dans le monde sauf nous, façon Harry Potter :
Ce genre de tâche me paraît très importante. D’une part cela permet de travailler le calcul, d’autre part l’estimation. Comme toutes les questions de comparaison, c’est une tâche difficile pour les élèves, et qui atteste, si elle est réussie, d’une bonne compréhension du type de nombre engagé, ici de la fraction.
Alors maintenant, il y a plusieurs niveaux de réponse, et d’ailleurs les copains l’ont très bien fait sur Twitter :
Si le but est de décomposer des fractions du type 12/7 (qui n’est pas une fraction très très agréable) sous la forme entier + fraction inférieure à 1, exemplifier sur des fractions décimales est une erreur de stratégie : c’est tout de même une tâche complexe, ici. Il faut interpréter la fraction 12/7 comme le quotient de 12 par 7, se demander combien de fois il y a 7 dans 12, décomposer en (7+5)/7, puis en 7/7+5/7, avoir compris que 7/7 c’est l’unité, et conclure que 12/7=1+5/7. C’est salement complexe. On manipule la fraction dans des calculs, ce qui implique que l’élève doit avoir vraiment intégré que c’est un nombre, déjà.
Mais de ce fait, commencer sur des fractions décimales va mener à un obstacle : du fait de notre système de numération en base 10, les fractions décimales “réagissent” visuellement différemment. De façon beaucoup plus sympathique, en fait. Comme le montre l’exemple choisi, 36/10=(30+6)/10=30/10+6/10=3+6/10. D’un côté c’est plus simple (car les fractions décimales, donc les décimaux, sont populaires et étudiés depuis le CM1), et d’un autre c’est du coup plus délicat car devant ce type de tâches, l’introduction d’un cas “plus simple” mais traité différemment antérieurement va passer pour une espèce de cas particulier qui va bloquer certains élèves.
C’est souvent, ça : des cas plus simples mathématiquement coincent les élèves qui savent comment faire des cas plus difficiles. Mais c’est un indicateur qui montre qu’ils n’ont pas compris : ils ne font pas les liens entre leurs acquis précédents et les notions et/ou compétences travaillées alors.
Je pense donc qu’en effet, stratégiquement, mieux vaut commencer par travailler sur des fractions non décimales, et puis pouf, au fil de l’eau, en proposer une, voir ce qui se passe, et si cela ne pose de problème à personne, s’arrêter un moment pour verbaliser tout cela et expliciter les liens, justement, avec les acquis antérieurs.
Ensuite, c’est une belle occasion de réfléchir au sens de la fraction. Si tout a été construit dans un sens favorable, on a étudié en CM1 les fractions dites simples, puis les fractions décimales, donc les décimaux, puis l’écriture décimale, et on revient plus tard aux fractions en général, jusqu’en sixième à ce fameux (par Julien Durand) :
Ce n’est pas pour des prunes, qu’on construit en ce sens. C’est ainsi que l’humanité a progressé dans son histoire, avec des fractions millénaires pour une écriture décimale juste séculaire. Et cela construit la compréhension du nombre. Mais c’est délicat, pas évident du tout, résistant. Il faut l’accepter ; ainsi on accepte aussi de différer la compréhension de certains élèves, qui vont revenir, revenir et revenir encore sur ces questions, jusqu’au moment où ce sera le bon.
Bon ok, on peut rêver le monde et tout et tout, mais une fois qu’on y est ? On a donné un exemple maladroit (pas besoin d’être stagiaire, je peux le faire aussi ! 😉 ) et des élèves se construisent un joli théorème en actes façon reconnaissance de formes :
Un théorème en actes, c’est une règle qu’on se construit parce que ça a l’air de marcher comme ça.
Pour remédier, que faire ? Parler de multiples langages et multi-représenter, je suppose : du partage, du quotient, du calcul… tous les arguments (valides sont bons, et sans doute tous nécessaires pour les uns et/ou les autres) :
Comme l’a suggéré Julien, il faudrait aussi revenir sur 1+2/7. Parce que ce qui est rigolo sur cet exemple, c’est que 1+2/7 est aussi compris entre 1 et 2. Mais avec 19/7, ça ne marche pas, par exemple.
Et ensuite, je reviendrais aux fractions décimales : le théorème en actes est-il vrai pour les fractions décimales ? Et pourquoi ? Ca soulève des questions fondamentales, en fait. C’est vraiment chouette, ce cas d’étude.
Et en cadeau bonus, cela donne l’occasion de travailler sur exemples, contre-exemples et généralités, sur la vérité en mathématiques. Et puis on peut faire s’interroger les élèves sur leur rapport aux savoirs, à la construction des savoirs : fais-tu ça parce que je te dis de la faire ? Parce que tu as envie de savoir le faire ? Parce que tu le comprends ? Et d’ailleurs, à quoi te sert de savoir ça, à ton avis ?
Dans mon cas, quand quelque chose de ce type se produit, l’inconvénient c’est que ça nous tient un bout de temps qui n’était pas prévu dans la programmation. L’avantage c’est que ça sert la progression des élèves. On regagnera du temps plus tard. Ou pas, mais de toute façon on ne va pas construire sur du sable…
Merci Michel, merci les copains, et merci le stagiaire qui nous a permis de cogiter !
Aujourd’hui, séance au CDI. Ma collègue doc demande aux élèves de sixième : “A votre avis, qu’est-ce qu’on va faire ?” ; réponse collective : “des maths !!!”. “Oui, mais pourquoi des maths au CDI ?” interroge ma collègue. Un élève non loin de moi répond : “Bah pourquoi pas ? Des maths, y en a partout partout.” Béh oui, tu as raison !
Pour moi, cette séance, qui vient après la fin de la séquence décimaux, qui s’est étalée longtemps en de nombreuses étapes articulées les unes aux autres, c’est le moment de travailler :
La numération décimale ;
L’histoire des décimaux, des fractions, de l’écriture décimale ;
Les notations : la virgule, le point ;
Les tableaux à double entrée, les représentations de données ;
L’ordinal et cardinal.
La séance se déroule ainsi, sur une heure de sixième :
Introduction (5 min)
Présentation de la séance : collaboration maths-doc, objectif (travailler sur des livres documentaires, puisque jusqu’ici les fictions ont été travaillées)
Qu’est-ce qu’une fiction ? Par opposition, qu’est-ce qu’un documentaire ?
La cote : comment ça marchait pour les fictions ? Hé bin ce n’est pas pareil pour les documentaires.
Gestion de données (15 min)
Distribution des documents suivants :
On réactive le côté maths avec la gestion de données : tableau à double entrée, ligne, colonne, case, on prend des exemples pour s’assurer que chaque élève sait le lire.
Les élèves doivent compléter en faisant les correspondances nécessaires. Nous circulons pour vérifier.
Quelle représentation préfères-tu ? Pourquoi ? A l’oral, avantages et inconvénients de chaque représentation
Comment fonctionne cette classification ? Idéalement, nous espérons qu’émerge spontanément que le chiffre des centaines et le chiffre des dizaines ont une signification
Petit point culture sur Melvil Dewey, bibliothécaire qui a inventé cette classification au XIXe siècle.
Classification décimale (15 min)
Pourquoi à votre avis elle s’appelle classification décimale ?
Présenter un livre dont la cote est du type 599.1 et leur demander ce que représente cette numérotation pour eux. On parlera de la virgule et du point.
Présenter des livres dont la cote est entière ou décimale et leur demander d’expliquer ; le but est que les élèves comprennent que le chiffre des unités spécifie le thème, et que le chiffre des dixièmes puis celui des centièmes permet d’affiner encore le sujet : plus on a de chiffres, plus la classification est complète et précise.
Et hop, une petite référence à la troncature et aux arrondis
5. Ordinal et cardinal
Dans la classification de Dewey, on note la catégorie “0” ainsi : 000. En fait, ces catégories sont des numéros, ce qui donne l’occasion pour moi d’expliquer cardinal/ordinal aux élèves. J’explique que savoir la comptine numérique n’est pas savoir compter, et j’ai illustré par l’exemple de Brissiaud : je te demande trois stylos, tu comptes 1-2-3 et tu répètes “3”. Mais si je te dis avoir changé d’avis et que j’en veux 4, si tu reprends les stylos et que tu énonces “1-2-3-4”, tu ne sais pas compter, tu connais les nombres-numéros dans l’ordre. Nous allons de plus en plus loin dans l’ordinal et le cardinal, au fil des années. C’est une question qui intéresse beaucoup les élèves.
Ordre dans les décimaux (10 min)
On donne des livres aux élèves et on leur demande de les ranger comme sur un rayonnage en cinq minutes maxi.
Le lien est fait avec les nombres…
Cela nous amène à l’ordre et la comparaison de décimaux (avec ou sans le glisse-nombres)
Et pour finir, selon le temps qui nous reste, nous travaillons la comparaison.
Ce que j’aime dans cette séance, c’est de travailler avec une collègue en cointervention, et de voir les élèves passer de la cote-étiquette à la cote-nombre, avec du sens.
Le CLEMI (centre pour l’éducation aux médias et à l’information) propose une activité qui interroge la manière de représenter les chiffres et d’induire la lecture des données. Conçue pour le cycle 4 et le lycée. Le document s’intitule “EMI et mathématiques : repérer les erreurs de datavisualisation” et est sous la forme d’une fiche pédagogique.
Il s’agira avec les élèves de montrer comment, en voulant représenter des données, on peut induire une appréciation erronée de celles-ci. On demandera aux élèves de proposer une forme qui leur paraît plus adéquate. Il ne s’agit pas de donner à penser qu’il existe une forme neutre de représentation des données (toute construction scientifique comporte plus ou moins des biais de représentations non conscients, socio-culturels, linguistiques) mais d’avoir un regard plus critique pour améliorer ces choix de représentations.
Raphaël Heredia, professeur documentaliste et formateur CLEMI (académie de Besançon), auteur de la fiche péda, part de représentations de données assez accessibles à étudier en proposant une organisation pédagogique.
Il propose ensuite deux autres représentations plus délicates, en leur associant des ressources :
Enfin, il est proposé aux élèves de produire des représentations de sonnées plus explicites, plus justes ou moins ambigües.
Merci à Stéphanie de m’avoir signalé cette ressource !
