Beaucoup de maths parce que c'est beau, mais plein d'autres choses pour tout enseigner à toutes et tous !
La collègue de SEGPA avec laquelle je travaille sur les anamorphoses, Aurélie Levionnois, m’a envoyé ce que ses élèves ont finalisé en bien peu de temps :
c’est une affaire qui roule! Nous allons maintenant consolider les élèves plus en difficulté et emmener plus loin celles et ceux qui ont validé cette deuxième étape. L’activité plaît aux élèves et la progression que nous avons imaginée fonctionne bien !
Nous avons entamé l’activité anamorphoses cylindriques, ce matin. Cela a été très productif et les élèves ont de nouveau été hyper attentifs et actifs.
Un article du Monde en date du 2 octobre 2023 revient sur la note d’alerte du conseil scientifique qui s’inquiète du niveau en mathématiques des élèves de sixième. Comme j’y apparais, voici quelques précisions pour compléter ce qui est rapporté de mon propos. Sylvie Lecherbonnier, l’auteure, ne l’a pas trahi du tout, mais forcément il est très très raccourci, c’est le jeu. Alors je développe un peu ici.
D’une part, comme le dit Charles Torossian : « Les difficultés autour de ces deux notions ne résument pas les connaissances en mathématiques des élèves à la fin du primaire. » Je suis bien d’accord. En outre dans ces évaluations il y a aussi l’influence de la lecture. Un de nos gros soucis est actuellement la difficulté qu’ont beaucoup d’élèves à décoder et comprendre l’écrit : pour pouvoir faire des mathématiques, comprendre l’écrit est souvent indispensable. Ensuite, comme le revendique Claire Piolti-Lamorthe, présidente de l’APMEP, le rôle de la formation est essentiel, et justement la formation continue en prend un coup dans les chaussettes, en cette rentrée.
Mais surtout, que “22 % des élèves placent correctement la fraction ½ sur une ligne graduée de 0 à 5” est normal au vu des programmes. Je ne pense pas qu’à ce stade on puisse déduire de ce seul indicateurs qu’« A l’entrée en 6e, la plupart des élèves ignorent le sens des fractions les plus simples ». Ils savent ce qu’on leur a appris. Voici un extrait des repères de progressivité du cycle 3, sur les fractions :
Comme on le lit ici, jusqu’au début de la 6e les fractions sont considérées dans le cadre du partage de grandeurs. Rien de surprenant donc à ce que les élèves se trompent à cette question :
Celles et ceux qui répondent 2,5 font directement appel au partage, et les autres répondent avec les moyens du bord, parce que tout simplement elles et ils ne savent pas. De même, comme je l’ai déjà écrit ici, le statut de la virgule, comme celui de la barre de fraction, sont complexes, alors que jusqu’ici les élèves n’écrivaient les nombres qu’avec des chiffres, sans autre symbole.
Ce n’est qu’en période 3 de la classe de 6e que la fraction acquiert vraiment son statut de nombre. Et cela ne peut pas être immédiat ; la preuve d’ailleurs est que beaucoup d’adultes répondent 2,5 à la question ci-dessus. Ce n’est pas parce qu’ils sont incultes et idiots. C’est parce que c’est authentiquement difficile ! Jusqu’à la moitié de l’année de sixième (au mieux) la fraction est vue comme une proportion de quelque chose. C’est tout de même hyper compliqué de devoir transformer si vite sa compréhension d’une notion relativement nouvelle. C’est pourquoi je pense que la fraction pourrait être vue longtemps avant, sous l’angle du partage, pour déjà développer le lexique, accoutumer aux mots et aux représentations. En 6e, on pourrait peut-être plus facilement passer à la fraction nombre.
Mais attention : je ne remets pas en cause le fait qu’il y a un problème dans l’acquisition des savoirs et des compétences en mathématiques. Cela fait même un gros bout de temps que nous alertons, avec l’APMEP. Ce que je voudrais voir davantage discuté, ce sont les indices, les indicateurs, la nature des preuves. Car il ne s’agit pas de défendre le point de vue d’untel ou d’unetelle pour ensuite imposer sa méthode ou sa doctrine. Il s’agit de faire progresser une société.
Une collègue m’a demandé comment je procède pour faire travailler la proportionnalité en 6e, alors que les élèves n’ont pas forcément les savoirs nécessaires à disposition. C’est une bonne question, mais qui vaut en fait jusqu’en 3e : alors les fonctions linéaires seront étudiées et on pourra véritablement modéliser la proportionnalité. Avant cela, on bricole, on tourne autour du pot, on approche prudemment le concept, mais jamais on n’explicite réellement. Les sacro-saints tableaux de proportionnalité ne définissent pas la proportionnalité ; ils donnent des procédés exécutifs, mais pas de sens. Cela dit, comme nous n’aurons nos fonctions linéaires que bien plus tard, il faut faire avec et soigner l’approche didactique de ce concept absolument crucial qu’est la proportionnalité.
Période 1
Pendant la première période, je fais travailler les élèves sur différentes situations, courtes à traiter et éparpillées dans la programmation. C’est la période de rencontre avec le concept :
Période 2
En deuxième période, nous continuons de tourner autour de la proportionnalité avec une insistance qui confine à l’entêtement. mais le but est d’entrer dans la modélisation :
Période 3
La proportionnalité occupe moins de place sur cette période, mais une des activités traitées est très importante car elle sera réinvestie lors de la période suivante :
Et puis on continue de réfléchir dans des contextes variés :
Période 4
Bim boum badaboum, on institutionnalise. Pour cela, nous traitons l’activité qui a été cette année observée par des chercheurs, car c’était en plus une activité de réflexion sur l’inclusion universelle. J’en parle ici
Mesurer le cercle nous ramène à la proportionnalité car π est le coefficient de proportionnalité entre le diamètre et le périmètre d’un cercle. Et puis nous pensons lave-vaisselle, aussi :
C’est la période qui nous voit poser notre trace d’institutionnalisation, dans le cahier de leçon : en principe à cette étape, nous nous sommes musclés.
Période 5
Maintenant que nous sommes des pros de la proportionnalité, nous la convoquons dans une multitude te tâches qui ont d’autres objectifs. Mais autant faire d’une pierre deux coups et ne pas mettre tous nos oeufs dans le même panier :
Conclusion
La proportionnalité est multiforme et doit donc être travaillée dans le sens de ses multi-représentations. Je pense d’ailleurs avoir oublié des activités que je raccroche aussi à ce thème. C’est l’avantage de spiraler et de ne jamais étudier une seule notion : je picore d’abord, puis je consolide et je verbalise, pour finalement modéliser et tester, re tester, re re re tester.
J’espère avoir répondu à la question qui m’était posée !
Si vous avez manque les épisodes précédents, la partie 1 est là et la partie 2 est ici.
Bon, maintenant que nous sommes d’accord pour utiliser ce modèle, allons-y : je propose aux élèves des tas de questions dans ce genre :
Ca marche, dans toutes les classes dans lesquelles j’ai proposé l’activité. Je re-précise : “attention, là vous savez faire, mais vous n’avez pas forcément compris pourquoi et ce n’est pas grave. Parfois on comprend un modèle en comprenant pourquoi il fonctionne. parfois on comprend comment utiliser un modèle et l’utiliser amène à comprendre pourquoi ça marche.”
Les élèves sont un peu cuits, à ce moment là. Ils ont travaillé dur, beaucoup participé. Des élèves en difficulté ont ébloui leur enseignant, souvent : finalement, il y a peu de pré-requis au fil des étapes. Mais dans deux classes il me restait du temps. Alors j’ai présenté les origamis d’Alice, ce qui m’a amenée à développer le tore. J’ai parlé anneau, tunnel en rond, et j’ai amené le mot tore. J’ai dérivé vers les donuts et le prix Nobel de physique, et puis je attrapé ma tasse et j’ai montré comment un tore et une tasse, pour un matheux (ou une matheuse…) c’est pareil.
Sur la dernière classe, quand ça a sonné, personne n’a bougé. J’ai regardé les élèves, et ils avaient l’air heureux et heureuses. Et moi aussi. J’ai regardé l’enseignante et elle avait carrément des étoiles dans les yeux. Elle m’a verbalisé tout ça avant de partir, avec un enthousiasme régénérant, pendant que les gamins s’étaient organisés tout seuls pour vérifier les pochettes, les ranger, ramasser les documents et remettre bien tout en place.
Je pense que c’est une séance qui marcherait bien avec un public “grand public”.
La deuxième partie de la séance (la première partie est ici) pour les CM2 a pour but d’emmener vers la modélisation. Pas forcément de faire comprendre ce qu’est une fraction comme ça, là tout de suite. Mais de faire comprendre ce que va être le but et la progression d’une partie de l’enseignement de maths au collège.
On extrait de notre pochette de briques les deux briques du haut. On efface de nos cerveaux l’unité-8 picots, et on se fixe à présent sur cette brique orange comme référence d’unité. Que représente alors la brique bleue ? J’ai rencontré deux types de classes : quatre classes m’ont répondu 4/6 et deux m’ont répondu “deux tiers”. Dans les deux cas, nous avons transformé pour obtenir 4/6 et 2/3 en expliquant le passage de l’un à l’autre, et en empilant sur l’unité des briques-tiers, de 2 picots.
Alors là, j’ai prévenu les enfants : attention, ça va swinguer. Je vais poser une question compliquée. Compliquée à comprendre dans sa formulation, et dont la réponse n’est pas simple :
Je voudrais faire deux lignes de briques : une ligne avec des briques unité exclusivement, et une avec des briques “deux tiers” seulement. Mon but est de trouver combien en poser de chaque pour que les deux lignes aient la même longueur. Là, avec une brique deux tiers et une brique unité, l’unité dépasse. Mais si je pose une autre brique deux tiers, c’est la ligne de briques deux tiers qui dépasse. Comment faire ?
Toutes les classes ont trouvé : il faut trois briques deux tiers et deux briques unité. Parfois les élèves l’ont réalisé expérimentalement, parfois ils m’ont dit que c’est parce que 13 est dans la table de 3 et de 4, ou que c’est parce que “2×6 et 3×4 ça fait pareil”.
Bien bien bien. Super. Et là, pour l’exemple du bas ? C’est plus long, mais les élèves trouvent collectivement, parfois après plusieurs essais infructueux : il faut 3 briques unités et 8 briques “3/8”.
Là, je fais mon show. Je marche dans un sens, dans l’autre, en prenant un air concentré et interrogatif. Il n’y aurait pas un truc, là ? Deux classes ont réussi à le formuler, et j’ai montré aux autres : quand j’ai des briques 2/3, il me faut 2 briques de l’un et 3 briques de l’autre. Quand j’ai des briques 3/8, il me faut 3 briques de l’un et 8 briques de l’autre… Oh-ooooh…
Vous verriez la tête de certains élèves à cet instant, c’est magnifique. La lumière s’allume : ils reconnaissent une forme. Je ne prétends pas qu’ils comprennent la fraction comme nombre, en si peu de temps et si tôt. Mais je veux juste provoquer une rencontre avec ce concept, et elle est réussie. Et je veux les emmener vers la représentation pour modéliser.
J’annonce: voilà comment je fais écrire cela dans la synthèse, en sixième :
Les élèves cherchent et reconnaissent un modèle : ils verbalisent ce que représente la fleur et ce que représente le soleil dans les deux exemples. Puis je demande : mais pourquoi est-ce que je préfère ça, d’après vous ? Et là, magie : dans toutes les classes il y a eu des élèves pour me répondre “parce que ça, ça marche tout le temps”.
Hé oui. C’est ça, modéliser. C’est trouver comment ça marche. Et le collège va vous permettre de comprendre POURQUOI ça marche comme ça. Tiens d’ailleurs, vous voulez que je vous montre comment on écrira la même propriété en cycle 4 ? (ouiiiiiiiiii, évidemment )
On ré-analyse : ça veut dire quoi ? Pourquoi c’est pratique ? Pourquoi c’est plus pratique que des dessins ? Et je développe : attention, là nous venons d’ouvrir une fenêtre vers le collège. Vous ne sortirez pas de ma classe aujourd’hui en ayant tout compris, et peut-être n’avez-vous pas compris, au fond, d’ailleurs, le sens de la propriété que je vous ai présentée sur les fractions. Mais ce n’est pas grave, parce que vous avez du temps devant vous, le temps de grandir et d’apprendre. Et ça va être super. Par contre, je pense que vous êtes capable de comprendre pourquoi un modèle c’est utile et puissant. On va essayer de vérifier ça.
Alors là, ça y est, je tiens vraiment ma séance d’intégration des CM2 au collège. Je l’ai déployée 6 fois en 3 jours, alors je commence à avoir du recul et des points de comparaison.
J’ai réfléchis à ce que j’allais animer comme thème. Je suis partie sur les fractions pour plusieurs raisons :
Voilà ma séance, qui dure 55 minutes.
D’abord (je résume), bonjour et bienvenue, je suis très heureuse de faire votre connaissance, et je vais essayer de vous faire partager ma passion des maths, tout en vous montrant pourquoi c’est chouette d’aller au collège : vous allez apprendre plein de choses nouvelles, mieux comprendre le monde, et grandir, ça vaut le coup.
Ensuite je distribue ma feuille et les pochettes de Lego. les élèves ont des pièces variées dedans. Tout le monde n’a pas exactement les mêmes, mais il y a une base commune.
Première question : au vu du document et du matériel, sachant que je suis là pour faire des maths, à votre avis quel est le titre de la séance ? Les réponses obtenues ont été, dans l’ordre : les solides, puis les parallèles et les perpendiculaires, puis les fractions. Les fractions, gagné. On note le titre de l’activité, pour fêter ça.
Avec les élèves, nous cherchons une brique comme la pièce Lego unité représentée en haut à droite. Nous la décrivons : nous n’avons pas toutes et tous une pièce de la même couleur, et ce n’est pas grave : mathématiquement, ce qui compte ce sont d’autres propriétés que la couleur. Nous nous mettons d’accord sur des éléments de langage : nous parlerons de brique, celle-ci a 8 picots, et elle représente l’unité, c’est-à-dire notre référence pour 1.
Cherchons maintenant une brique telle que celle de la première colonne du tableau. On la prend, on l’observe, on la clipse sur l’unité, on la déclipse… Qu’en dire ? Là, ça va vite :
Chacune de ces propositions est reprise et grâce à la visualiseuse nous vérifions : en mettant deux briques identiques de 4 picots sur l’unité on la recouvre pile poil, en mettant 4 briques de 2 picots aussi, et la brique observée a 4 picots parmi les 8 de l’unité. Tout cela nous permet de faire référence au partage équitable, mais aussi à la proportionnalité.
Les dessins sont évoqués spontanément : un rectangle coupé en diagonale, verticalement ou horizontalement, un disque et puis la ligne numérique.
Comment exprimer autrement ce que représente cette brique par rapport à l’unité ? Les écritures décimales n’arrivent pas spontanément. C’est bien normal : elles sont moins intuitives que les fractions, comme l’indiquent leurs apparitions respectives au cours de l’histoire. Les fractions c’est très très vieux. Les écritures décimales, pas du tout. 0,5 pointe rapidement le bout de sa virgule. Et dans sa foulée, avec une petite incitation en général, 5/10 et ses compères 50/100 et 500/1000.
Alors très bien, et 50/100 me permet un pont vers les pourcentages. J’explique, je reformule. Et puisqu’on en est là, autant parler des pour mille ! La notation est rigolote, en plus. Et cela donne du sens aux pourcentages, en insistant à nouveau sur la proportionnalité.
Une fois tout ceci posé, nous nous attaquons à la deuxième brique. 1/8 arrive facilement, mais nous reformulons (c’est vraiment nécessaire pour la suite) : 1 picot parmi les 8 picots de la brique unité. D’accord, mais en écriture décimale, ça fait quoi ? Mmmmh, comment faire ? Est-ce que 1,8 est convaincant ? Non, parce que 1,8 c’est plus grand que 1 (et pas loin de 2). 0, quelque chose, ok. Mais c’est quoi, le quelque chose ? Là, ça coince. Alors j’aide : une fraction, ça correspond à quelle opération ? Une division, d’accord. Je peux peut-être poser une division, alors… Laquelle ? 1 : 8, oui. Allons-y. Et nous voilà partis à effecteur une division posée décimale. S’achèvera, achèvera pas ? S’achèvera. Ainsi, 1/8=0,125. Le passage en millièmes vient tout seul, celui en centièmes suit sur ma demande, et on termine par des pour mille et des pourcentages, décimaux. Oui oui, c’est possible.
La troisième brique est difficile. Les élèves voient pourquoi : on dépasse l’unité. On clipse l”unité sur la brique, et il reste un bout qui dépasse. Mais ce bout, c’est ce que nous avons étudié en première proposition. Alors on y arrive : 1+1/2, ou 3/2, ou 1,5… Et de fil en aiguille, 150% est proposé avec méfiance. Nous faisons un petit détour par les % et le “100” : 150% de gauchers et gauchères dans la classe, non. 150% de la brique unité, oui. TOut est une question de contexte.
Là, je laisse les trois dernières briques de côté, en proposant à l’enseignant de les travailler ou pas en classe plus tard. Avec des classes que je sens en difficulté, nous comparons les écritures : quels sont les avantages et inconvénients de l’écriture en fraction, décimale ou schématisée ? Avec les autres, je zappe cette étape.
Hier matin, nous avions, en sixième, préparé la nappe pour la fête du soir. Les élèves, toutes et tous ensemble, à l’image de notre belle année, ont donc décoré la table :
J’avais posé quelques limites : que des maths, vos maths, et pas de noms, pas d’indication de classe, puisque le soir nous étions en niveaux mélangés. La nappe a subi des verres renversés et autres accidents, et elle est partie à la poubelle. C’était donc de l’art mathématique éphémère !
Et voilà, nous sommes rentrés de notre rallye. C’était une super édition, j’ai adoré les énigmes ! Mes élèves de sixième sont arrivés quatrièmes de l’académie. Ils étaient un peu déçus de ne pas être sur le podium, d’autant qu’ils ont vraiment bien travaillé, mais leur production à un défi manquait de clarté, et alors qu’ils avaient la réponse juste, leur feuille ne permettait pas de l’identifier clairement. Et puis ils ont fait une erreur sur un autre défi (et j’ai fait la même, d’ailleurs). Mais comme je le leur avais dit, j’étais déjà tellement fière d’eux et d’elles : une classe avec autant d’élèves à besoins particuliers (19 sur 30, pas mal) qui se retrouve en finale et sait chercher avec enthousiasme et dans l’harmonie, ce n’est pas tous les jours qu’on en croise. Et puis quatrième, c’est génial !!! Je voulais les voir chercher de belle façon, et ils ont cherché de magnifique façon.
Je suis heureuse d’avoir vécu ce moment avec elles et eux. En plus, j’étais accompagnée de collègues et de mamans extra, ce qui a rendu toute la gestion de la sécurité bien plus légère, et être en confiance ainsi est un luxe dont j’ai conscience.
L’APMEP a proposé des jeux pendant la pause :
Et lorsque nous sommes sortis prendre l’air et nous mettre à l’écart du bruit écrasant du hall de la fac, ces jeunes gens n’ont pas ressassé longtemps leur déception : ils ont attendu que je les rejoigne, et m’ont couverte de cadeaux, m’ont chanté une chanson qu’ils avaient répété, visiblement. Gros moment d’émotion : peut-être est-ce ma dernière classe de sixième, si j’ai la chance d’avoir ma mutation en Ulis. Et ils sont tellement mes loulous, ceux-là… Bref.
Nous sommes rentrés avec de beaux et grands sourires, les enfants nous ont dit merci pour tout avant de partir, à lundi, et quand est-ce que vous nous faites un gâteau (réponse : pour mercredi), et bon weekend et tout et tout, et voilà. Nous nous sommes retrouvées dans le calme, aussi régénérant que curieusement vide.
Et moi j’ai leur gentillesse et leurs mots, qui me touchent au coeur.
Cet après-midi, finale du rallye IREM !
Mon activité de lecture de graphiques, le Chaperon rouge, qui n’est d’ailleurs pas de moi, s’est terminée aujourd’hui : j’ai récupéré les productions de mes élèves. L’année dernière, voici ce que j’avais obtenu.
Cette année, la cuvée s’annonce bonne. Voici quelques productions, pour commencer cette belle exposition.
Une vidéo :
Une bande dessinée :
Une nouvelle, magnifique écrit d’imagination. J’adore la réécriture :
Faut que je me dégotte des noflins, moi. C’est hyper utile.
Aujourd’hui en rentrant, j’avais dans ma boîte aux lettres une enveloppe avec dedans ça :
Chouette-chouette-chouette-chouette !
Cela fait des années que j’utilise le cahier de calculs de Jean-Yves Labouche, qui est disponible sur son site. Comprendre et automatiser le calcul mental est absolument indispensable : c’est un outil de compréhension de notre environnement sans lequel l’individu est isolé, et le développer participe d’un projet d’égalité. Chose remarquable, le cahier de 6e est toujours en ligne malgré l’édition du cahier en version papier chez Hatier : “le cahier d’origine reste disponible, mais ne sera plus mis à jour et il ne bénéficie pas de tout le travail de correction, de relecture et d’amélioration qui a été apporté à la version éditée“, lit-on sur le site de Jean-Yves, et c’est drôlement chouette, je trouve. La version papier éditée comporte des améliorations évidentes et un confort certain, mais pour autant les outils gratuits demeurent.
Alors, que trouve-t-on dans ces cahiers ?
D’abord, le mode d’emploi par Jean-Yves. Car il s’agit là d’un outil par un prof, pour des profs. Chaque cahier propose 38 fiches, qui permettent de réactiver et d’automatiser. Chaque fiche est structurée en trois temps : un point de méthode pour donner accès, un entraînement au rythme de l’élève en version papier, avec le corrigé numérique accessible en flashant un QR-code, et un entraînement en temps limité à partir de questions en numérique (et mes élèves sont équipés de tablettes attribuées par le département, alors youpi), avec le corrigé à la fin. Tout fonctionne tip top, j’ai essayé avec mon téléphone, ma tablette, mais aussi à partir de mon PC car on dispose d’une adresse courte rapide à taper.
Jean-Yves enseigne à Tapei, et ses cours durent 1h20. Son organisation est forcément impactée par ce temps particulier, mais elle est parfaitement transposable à 55 minutes de séances, même quand on a un emploi du temps pas glop, comme par exemple celui de madame L., dans un collège en Normandie, qui voit ses élèves deux heures le mardi et deux heures le mercredi (et une heure quinzaine le lundi, mais comme c’est en demi-classe madame L. travaille autrement à ce moment-là). C’est peu adapté pour entretenir les savoirs, comme emploi du temps, mais bon voilà.
Cette madame L. a réfléchi : même avec cet emploi du temps-là, elle peut mettre en oeuvre les cahiers de monsieur Labouche sans souci.
Je pense que j’envisagerais même que par la suite certains élèves reviennent sur la partie entraînement en temps limité, quelques semaines après l’avoir traité, si des fragilités demeurent, alors que les autres continuent à avancer. Certes, nous ne serions pas tous et toutes au même stade en même temps, mais ce n’est pas grave : je pourrais faire progresser chacune et chacun de façon adaptée. Certains thèmes ne seraient simplement pas abordés par toutes et tous, mais c’est normal puisque les élèves ne partent pas du même point et n’ont pas le même rythme d’acquisition. Et certains thèmes seraient des points de passage obligé, parce que ceux-là me semble absolument incontournables.
Pour certaines fiches, je proposerai mon propre point de méthode, car je ne l’expose pas comme Jean-Yves. Mais ça aussi c’est facile à organiser : son cahier est un outil très flexible. Et hyper pratique pour l’enseignant, qui a accès aux contenus et aux corrections de façon très simple. En plus, les cahiers structurent les points à aborder pendant l’année, qu’on suive les fiches dans l’ordre ou pas.
Le cahier de 5e m’a beaucoup, beaucoup plu : en 6e, je m’appuie déjà au quotidien sur le cahier de calcul antérieur. Mais pas en 5e, et pour cause : il n’y en avait pas. Hé bien voilà qui va me faire gagner un temps fou ! Sur son site, Jean-Yves a mis en ligne des fiches qu’il n’a pas pu intégrer au cahier de 5e faute de place. Pour ma part, je suis tout aussi fan de ces fiches que de celles qui figurent dans le cahier. Donc je prends tout, joyeusement. Hop.
Bravo Jean-Yves : une progression claire, des supports très lisibles, des choix pertinents, un usage complémentaire du papier et du numérique : c’est une réussite qui va devenir un outil de base et parfaitement indispensable dans mes pratiques.